Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.Biết \(AD = 4a,AB = BC = 2a;SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SC = a\sqrt {10} \). Gọi E là trung điểm của AD. 1) Chứng minh: \(BC\bot (SAB)\)

1) Ta có \(BC\bot SA\) (do \(SA\bot (ABCD)\)

\(BC\bot AB\) (ABCD là hình thang vuông tại A và B 

Suy ra \(BC\bot (SAB)\)

2) Ta có \(SA\bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a\sqrt 2 \)

\(\Delta SAC\) vuông tại A \( \Rightarrow \cos \widehat {SCA} = \frac{{AC}}{{SC}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

3) Chứng minh ABCE là hình vuông \( \Rightarrow BE \bot AC\)

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
SA \bot \left( {ABCD} \right)\\
BE \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot SA\\
\left. \begin{array}{l}
BE \bot AC\\
BE \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot \left( {SAC} \right)\\
 \Rightarrow \left( {SBE} \right) \bot \left( {SAC} \right)
\end{array}\)

4) E là trung điểm của AD \( \Rightarrow d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)

\(\Delta SCD\) có \(EA=ED=EC\) nên \(\Delta SCD\) vuông tại C

Dựng \(AH\bot SC\) tại H

Chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\)

\(AH = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\)

\( \Rightarrow d\left( {E,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)