Cho cấp số cộng (un) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\) bằng

Ta có \({S_{2018}} = \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)\), \({S_{1009}} = \frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 4.\frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2\left( {2{u_1} + 1008d} \right) \Leftrightarrow {u_1} = \frac{d}{2}\)

Dãy số (un): \(\frac{d}{2}\), \(\frac{{3d}}{2}\), \(\frac{{5d}}{2}\), ...

Ta có \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\)

\( = \log _3^2\frac{{3d}}{2} + \log _3^2\frac{{9d}}{2} + \log _3^2\frac{{27d}}{2}\)

\( = {\left( {1 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {3 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2}\)

Đặt \({\log _3}\frac{d}{2} = x\) thì

\(\begin{array}{l} P = {\left( {1 + x} \right)^2} + {\left( {2 + x} \right)^2} + {\left( {3 + x} \right)^2}\\ = 3{x^2} + 12x + 14\\ = 3{\left( {x + 2} \right)^2} + 2 \ge 2 \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = - 2 \Leftrightarrow d = \frac{2}{9}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2.