Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN

 

I. Mục tiêu

Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.

2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.

II. Các tài liệu hỗ trợ:

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8

- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8

- Bồi dưỡng toán 8

- Nâng cao và phát triển toán 8

- …

III. Nội dung

1. Kiến thức cần nhớ

1. Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n\( \in \)N hoặc n \( \in \)Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho n

* Ví dụ 1:

C/minh rằng A=n³(n²- 7)² – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n

Giải:

Ta có 5040 = 2⁴. 3².5.7

A= n³(n²- 7)² – 36n = n.[ n²(n²-7)² – 36 ] = n. [n.(n²-7 ) -6].[n.(n²-7 ) +6]

 = n.(n³-7n – 6).(n³-7n +6)

Ta lại có n³-7n – 6 = n³ + n² –n² –n – 6n -6 = n².(n+1)- n (n+1) -6(n+1)

= (n+1)(n²-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

Tương tự : n³-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d

Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy: A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:

• Tồn tại một bội số của 5 (nên A \( \vdots \) 5 )
• Tồn tại một bội của 7 (nên A \( \vdots \) 7 )
• Tồn tại hai bội của 3 (nên A \( \vdots \) 9 )
• Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A \( \vdots \) 16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau \( \Rightarrow \) A \( \vdots \)5.7.9.16= 5040

Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì:

a/ a³ –a chia hết cho 3

b/ a⁵-a chia hết cho 5

Giải:

a/ a³-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3

b/ A= a⁵-a = a(a²-1) (a²+1)

*Cách 1:

Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5

• Nếu a= 5 k (k\( \in \)Z) thì A \( \vdots \)5  (1)
• Nếu a= 5k \( \pm \)1 thì a²-1 = (5k²\( \pm \)1) ² -1 = 25k²\( \pm \) 10k\( \vdots \)5 \( \Rightarrow \)A \( \vdots \)5  (2)
• Nếu a= 5k \( \pm \)2 thì a²+1 = (5k\( \pm \)2)² + 1 = 25 k²\( \pm \)20k +5 \( \Rightarrow \)A \( \vdots \)5  (3)

Từ (1),(2),(3) \( \Rightarrow \)A \( \vdots \)5, \(\forall \)n \( \in \) Z

*Cách 2:

Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5:

+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp

+ Một số hạng chứa thừa số 5

Ta có : a⁵-a = a( a²-1) (a²+1) = a(a²-1)(a²-4 +5) = a(a²-1) (a²-4) + 5a(a²-1)

                   = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a²-1)

Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) \( \vdots \)5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )

 5a (a²-1) \( \vdots \)5

Do đó  a⁵-a  \( \vdots \)5

* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a⁵-a  và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.

Ta có:

a⁵-a  – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a⁵-a  – (a²- 4)a(a²-1) = a⁵-a  - (a³- 4a)(a²-1)

= a⁵-a  - a⁵ + a³ +4a³  - 4a = 5a³ – 5a \( \vdots \)5

\( \Rightarrow \) a⁵-a  – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) \( \vdots \)5           

Mà  (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) \( \vdots \)5   \( \Rightarrow \) a⁵-a \( \vdots \)5(Tính chất chia hết của một hiệu)

c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)( a^n-1 + a^n-2b+ a^n-3b²+ …+ab^n-2+ b^n-1)         (HĐT 8)

aⁿ + bⁿ = (a + b)( a^n-1 - a^n-2b+ a^n-3b² -  …- ab^n-2+ b^n-1)          (HĐT 9)

• Sử dụng tam giác Paxcan:

          1

          1      1

1     2      1

1     3      3       1

1     4      6       4    1

…..

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.

Do đó: Với \(\forall \)a, b \( \in \) Z, n \( \in \)N:

aⁿ – bⁿ chia hết cho a – b( a\( \ne \)b)

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ chia hết cho a + b( a\( \ne \)-b)

(a+b)ⁿ = Bsa +bⁿ ( BSa:Bội số của a)

(a+1)ⁿ = Bsa +1

(a-1)²ⁿ = Bsa +1

(a-1)²ⁿ⁺¹ = Bsa -1

 

Để xem toàn bộ nội dung của tài luyện chuyên đề tính chia hết với số nguyên các em vui lòng đăng nhập vào website Hoc247.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.