Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2019 Trường THPT Thuận Thành 2

1. Giải phương trình \(2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\) 

2. Cho các số \(x + 5y;\,5x + 2y;\,8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \({(y - 1)^2};\,xy - 1;\,{\left( {x + 2} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x, y.

1. Tính tổng \(S = 2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n\)  

2. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.

1. Tìm \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}{{\sqrt {4{n^2} + 3n}  - 2n}}\)

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 4 + \sqrt {{x^2} + 8x + 17}  = y + \sqrt {{y^2} + 1} \\
x + \sqrt y  + \sqrt {y + 21}  + 1 = 2\sqrt {4y - 3x} 
\end{array} \right.\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4), B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC = 2a đáy bé AD = a , AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC.

1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P). Thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và \(x = AM,\left( {0 < x < b} \right).\) Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất.