Bài tập 5.2 trang 91 SBT Toán 8 Tập 2

Hướng dẫn giải

Sử dụng: 

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết \(D, E, F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC\) và \(CA\) nên \(DE, EF, FD\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC.\) Do đó, ta có:

\(\displaystyle DE = {1 \over 2}AC,EF = {1 \over 2}AB,\) \(\displaystyle FD = {1 \over 2}BC\) (1) (tính chất đường trung bình)

Mặt khác, \(M\) là trung điểm của \(OA,\) \(P\) là trung điểm của \(OB,\) \(Q\) là trung điểm của \(OC,\) xét các tam giác \(OAB, OBC, OCA\) có \(MP, PQ, MQ\) lần lượt là đường trung bình nên ta có:

\(\displaystyle MP = {1 \over 2}AB,PQ = {1 \over 2}BC,\) \(\displaystyle QM = {1 \over 2}AC\) (2) (tính chất đường trung bình)

Từ (1) và (2), ta suy ra:

\(DE = QM, EF = MP, FD = PQ.\)

Do đó: \(\displaystyle {{DE} \over {QM}} = {{EF} \over {MP}} = {{FD} \over {PQ}} = 1\)

Vậy \(∆ DEF\) đồng dạng \(∆ QMP\) theo tỉ số đồng dạng \(k = 1\), trong đó \(D, E, F\) lần lượt tương ứng với các đỉnh \(Q, M, P.\)

b) Lục giác \(DPEQFM\) có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một:

\(DP = QF\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}OA);\)

\(PE = MF\) (vì cùng bằng  \(\displaystyle {1 \over 2}OC)\)

\(EQ = MD\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}OB)\)

Lục giác \(DPEQFM\) có \(6\) cạnh bằng nhau chỉ khi \(DP = PE = EQ.\)

Muốn vậy, ta phải có \(OA = OB = OC\), khi đó \(O\) là điểm cách đều ba điểm \(A, B, C\).

Vậy \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực tam giác \(ABC.\)

-- Mod Toán 8 HỌC247