Trong bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Lập phương của một tổng hay một hiệu, cùng với các bài tập minh họa và các bài tập luyện tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung về lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu. Chúc các em học tập thật tốt!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Lập phương của một tổng
- Với hai số a, b bất kì ta thức hiện phép tính:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \left( a+b \right).{{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right).\left( {{a}^{2~}}+2ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}~+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\ \end{array}\)
Vậy \(\left( a+b \right).{{\left( a+b \right)}^{2}}~={{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}~+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\).
- Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:
| \({{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}~+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}\) |
Ví dụ 1: Khai triển:
a) \({{\left( x+3 \right)}^{3~}}={{x}^{3~}}+3.{{x}^{2}}.3+3.x{{.3}^{2}}~+{{3}^{3~}}={{x}^{3~}}+9{{x}^{2}}+27x+27\)
b) \({{\left( 3x+y \right)}^{3~}}={{\left( 3x \right)}^{3}}~+3.{{\left( 3x \right)}^{2}}.y+3.3x.{{y}^{2}}~+{{y}^{3~}}=27{{x}^{3}}~+27{{x}^{2}}y+9x{{y}^{2}}~+\text{ }{{y}^{3}}\)
Ví dụ 2: Viết biểu thức \({{x}^{3}}\text{+}12{{x}^{2}}+48x+6\) dưới dạng lập phương của một tổng
Ta có:
\({{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+48x\text{+}64={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.4+3.x{{.4}^{2}}+{{4}^{3}}={{\left( x+4 \right)}^{3}}\)
1.2. Lập phương của một hiệu
- Với hai số a, b bất kì ta viết a – b = a + (–b). Áp dụng HĐT lập phương của một tổng để tính: \({{\left( a-b \right)}^{3}}\)
Ta có: \({{\left[ a+\left( -b \right) \right]}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}.\left( -b \right)+3a.{{\left( -b \right)}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)
Vậy \({{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\).
- Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:
|
\({{\left( A-B \right)}^{3~}}={{A}^{3}}~-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2~}}-{{B}^{3}}\) |
Ví dụ 3: Khai triển:
a) \({{\left( x-3 \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.3+3.x{{.3}^{2}}-{{3}^{3}}={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+27x-27\)
b) \(~{{\left( 3x-y \right)}^{3}}={{\left( 3x \right)}^{3}}-3.{{\left( 3x \right)}^{2}}.y+3.3x.{{y}^{2}}-{{y}^{3}}=27{{x}^{3}}-27{{x}^{2}}y+9x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}\)
Ví dụ 4: Viết biểu thức \(~8{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+54x-27\) dưới dạng lập phương của một hiệu.
Ta có:
\(\begin{align} & ~8{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+54x-27 \\ & ={{\left( 2x \right)}^{3}}-3.4{{x}^{2}}.3+3.2x{{.3}^{2}}-{{3}^{3}} \\ & ={{\left( 2x3 \right)}^{3}} \\ \end{align}\)
Bài tập minh họa
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – y)3 + (x + y)3;
b) (3x + 4)3 + (3x – 4)3.
Hướng dẫn giải
a) (x – y)3 + (x + y)3
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
= 2x3 + 6xy2
b) (3x + 4)3 + (3x – 4)3
= 27x3 + 108x2 + 144x + 64 + 27x3 – 108x2 + 144x – 64
= 54x3 + 288x
3. Luyện tập Bài 7 Toán 8 Tập 1 - Kết nối tri thức
Qua bài học này, các em có thể:
- Mô tả các hằng đẳng thức: Lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu.
- Vận dụng hai hằng đẳng thức này để khai triển, rút gọn biểu thức.
3.1 Trắc nghiệm Bài 7 Toán 8 Tập 1 - Kết nối tri thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 7 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
Câu 1:
Chọn câu đúng trong các câu sau?
- A. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
- B. (A - B)3 = A3 - 3A2B - 3AB2 - B3
- C. (A + B)3 = A3 + B3
- D. (A - B)3 = A3 - B3
-
Câu 2:
Chọn câu sai trong các câu sau?
- A. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
- B. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
- C. (A + B)3 = (B + A)3
- D. (A – B)3 = (B – A)3
-
- A. x3 – 3xy + 3x2y + y3
- B. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
- C. x3 – 6x2y + 12xy2 – 4y3
- D. x3 – 3x2y + 12xy2 – 8y3
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 7 Toán 8 Tập 1 - Kết nối tri thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức Bài 7 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Mở đầu trang 34 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 35 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 35 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 35 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài 2.7 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài 2.8 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài 2.9 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài 2.10 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài 2.11 trang 36 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài tập 2.8 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 2.9 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 2.10 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 2.11 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 2.12 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
4. Hỏi đáp Bài 7 Toán 8 Tập 1 - Kết nối tri thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 8 HỌC247
