Bài tập 18 trang 100 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

a) Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).

Tương tự ta có \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\). Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\), nên suy ra \(I \in SM\) và \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).

Chứng minh tương tự ta cũng có \(J \in SN\) và \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra \(IJ\parallel MN\) và \(\frac{{IJ}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).

Chứng minh tương tự ta cũng có \(LK\parallel PQ\) và \(\frac{{LK}}{{PQ}} = \frac{2}{3}\).

Từ đó ta suy ra \(IJ\parallel LK\) và \(IJ = LK\). Vậy bốn điểm \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJLK\) là hình bình hành.

b) Ta có \(L\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\), nên suy ra \(L \in SQ\) và \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{{SJ}}{{SN}}\), tức là \(JL\parallel NQ\).

Mặt khác \(N\) là trung điểm của \(BC\),\(Q\) là trung điểm của \(DA\) nên suy ra \(NQ\parallel CD\).

Vậy \(JL\parallel CD\).

c) Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\).

Ta có \(JL\parallel CD\), \(JL \in \left( {IJKL} \right)\), \(CD \in \left( {SCD} \right)\).

Hơn nữa \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) và \(K \notin JL\), \(K \notin CD\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\).

Ta có \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\), tức là \(K\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Hơn nữa, \(K \notin JL\), \(K \notin CD\), nên \(JL\) và \(CD\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

-- Mod Toán 11 HỌC247