Bài 6: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ và phương sai của tổng thể


Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 6: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ và phương sai của tổng thể sau đây để tìm hiểu về kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ và phương sai của tổng thể.

Tóm tắt lý thuyết

1. Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ

Giả sử p1, p2 tương ứng là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể thứ nhất, thứ hai (p1, p2 chưa biết). Ta cần kiểm định giả thiết:

\(H_0:p_1=p_2=p_0\); và giả thiết đối \(H_1:p_1 \ne p_2\)

với mức ý nghĩa \(\alpha\).

Chọn thông kê: 

\(Z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p_0}(1 - {p_0})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)   (8.18)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Trong đó f1 là tỷ lệ phần tử có dấu hiệu A của mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 được xây dựng từ X (X là số phần tử có dâu hiệu A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể thứ nhât).

f2 là tỷ lệ phần tử có dấu hiệu A của mẫu ngẫu nhiên kích thước n2 được xây dựng từ Y (Y là số phần tử có dâu hiệu A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể thứ hai).

Với kích thước mẫu lớn và giả thiết H0 đúng thì z có phân phôi xấp xỉ chuẩn tắc.

Nếu chưa biết p0 thì ta thay p0 bằng ước lượng hợp lý tối đa của nó

\({p^*} = \frac{{{n_1}{p_1} + {n_2}{p_2}}}{{{n_1} + {n_2}}}\) (8.19)

Khi đó ta chọn thông kê:

\(Z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.20)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Qui tắc quyết định như sau:

Lấy hai mẫu kích thước n1, n2. Tính f1, f2 tương ứng là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của mẫu có kích thước n1, n2, sau đó tính:

\(z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.21)

nếu không biết p0.

hoặc:

\(z = \frac{{\overline x - \overline y }}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.22)

Các bước tiếp theo tiến hành tương tự như qui tắc đã nêu ở phần VII.

Thí dụ 6: Kiểm tra những sản phẩm được chọn ngẫu nhiên ở hai nhà máy cùng sản xuất loại sản phẩm này. Ta có các số liệu sau:

Nhà máy Số sp được kiểm tra Số phế phẩm

A

B

1000

900

20

30

Với mức ý nghĩa \(\alpha = 0,05\), có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau hay không ?

Giải: Gọi p1, p2 tương ứng là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy A, B.

Đặt giả thiết:

\({H_0}:{p_1} = {p_2};\,\,{H_1}:{p_1} \ne {p_2}\)

Với mức ý nghĩa \(\alpha = 0,05\) thì \(z_{0,05}=1,96\).

Từ số liệu đã cho ta tính được:

\({f_1} = \frac{{20}}{{1000}} = 0,02;\,\,\,\,{f_2} = \frac{{30}}{{900}} = 0,033\)

\({p^*} = \frac{{20 + 30}}{{1000 + 900}} = \frac{1}{{38}} \Rightarrow 1 - {p^*} = \frac{{37}}{{38}}\)

Vậy

\(z = \frac{{(0,02 - 0,033)}}{{\sqrt {\frac{1}{{38}}.\frac{{37}}{{38}}.\left( {\frac{1}{{1000}} + \frac{1}{{900}}} \right)} }} = - 1,81\)

Ta thấy \(\left| z \right| = 1,81 < {z_{0,05}}\) nên chấp nhận giả thiết H0, tức có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau.

2. Kiểm định giả thiết về phương sai của tổng thể

Giả sử ĐLNN X phân phối theo qui luật chuẩn và chưa biết var(X). cần kiểm định giả thiết:

\({H_0}:v{\rm{ar}}(X) = \sigma _0^2\) và giả thiết đối \({H_1}:v{\rm{ar}}(X) \ne \sigma _0^2\) với mức ý nghĩa \(\alpha\).

Lập mẫu ngẫu nhiên Wx = (X1, X2,..., Xn).

Chọn thống kê:

\({\chi ^2} = \frac{{(n - 1).{S^2}}}{{\sigma _0^2}}\)  (8.23)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Nếu H0 đúng thì \({\chi ^2}\) phân phối theo qui luật “Chi bình phương” với n-1 bậc tự do.

Với mức ý nghĩa \(\alpha\), miền bác bỏ giả thiết H0 là:

Trong đó \(\chi _{\alpha /2}^2\,\,và\,\,\chi _{1 - \alpha /2}^2\) là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên \({\chi ^2}\) phân phối theo qui luật “Chi bình phương” với n-1 bậc tự do thỏa mãn điều kiện:

\(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2} \right) = \frac{\alpha }{2};\,\,\,\,\,P\left( {{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha /2}^2} \right) = 1 - \frac{\alpha }{2}\)

Ta có thể minh họa miền bác bỏ \(W_{\alpha}\)như sau:

Qui tắc quyết định:

  • Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này tính s2 rồi tính:

\({\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}\)  (8.25)

  • Với mức ý nghĩa \(\alpha\), tra bảng \(\chi _\alpha ^2\) (bậc tự do n-1) để tìm các giá trị \(\chi _{\alpha /2}^2\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2\)
  • Nếu \({\chi ^2} \notin \left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2;\chi _{\alpha /2}^2} \right)\) thì bác bỏ H0 thừa nhận H1
  • Nếu \({\chi ^2} \in \left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2;\chi _{\alpha /2}^2} \right)\) thì có thể chấp nhận H0

Từ việc bác bỏ (hoặc chấp nhận H0) ta suy ra kết luận cuối cùng cho bài toán thực tế đang xét.

Ta có thể tóm tắt miền bác bỏ giả thiết này ứng với các loại giả thiết đối khác nhau ở bảng sau đây:

Giả thiết Miền bác bỏ
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) < }}\sigma _0^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}:{\chi ^2} < \chi _{1 - \alpha }^2(n - 1)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) > }}\sigma _0^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}:{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha }^2(n - 1)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) \ne }}\sigma _0^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2}:{\chi ^2} < \chi _{1 - \alpha /2}^2(n - 1);\,\,hoac\,\,{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2(n - 1)} \right\}\)

Thí dụ 8: Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với Var(X) = 12. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường người ta cân thử 13 sản phẩm và tính được s2 = 14,6.

Với mức ý nghĩa \(\alpha\) = 0,05. Hãy kết luận điều nghi ngờ trên có đúng hay không ?

Giải: Để giải bài toán trên ta cần kiểm đinh giả thiết:

\(H_0: Var(X) = 12 ; H_1: Var(X) \ne 12 \)

Từ các số liệu của bài toán ta tính được:

\({\chi ^2} = \frac{{(13 - 1)14,6}}{{12}} = 14,6\)

Với \(\alpha\) = 0,05; Tra bảng \(\chi _\alpha ^2\) với (n - 1) = 12 bậc tự do ta được:

\(\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,025}^2 = 23,3\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,975}^2 = 4,4\)

Ta thấy 4,4 < \({\chi ^2}\) < 23,3 nên chấp nhận giả thiết H0, tức là điều nghi ngờ trên là không đúng, máy vẫn làm việc bình thường.