Bài 7: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai phương sai


Nội dung bài giảng Bài 7: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai phương sai sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về sự bằng nhau của hai phương sai với ví dụ được chứng minh cụ thể. Mời các bạn cùng tham khảo!

Tóm tắt lý thuyết

Cho \({X_1} \sim N\left( {{\mu _1};\sigma _1^2} \right);{X_2} \sim N\left( {{\mu _2};\sigma _2^2} \right)\)với \(\sigma _1^2\,\,và\,\,\sigma _2^2\)chưa biết. Ta cần kiểm định giả thiết \({H_0}:\sigma _1^2 = \sigma _2^2\)

Để kiểm định giả thiết trên, từ hai tổng thể rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước tương ứng là n1 và n2.

\({{\rm{W}}_1} = \left( {{X_{11}},{X_{12}},...,{X_{1n1}}} \right)\) và \({{\rm{W}}_2} = \left( {{X_{21}},{X_{22}},...,{X_{2n2}}} \right)\)

Và chọn tiêu chuẩn kiểm định là thống kê:

\(F = \frac{{S_1^2}}{{S_2^2}}.\frac{{\sigma _2^2}}{{\sigma _1^2}}\)  (8.26)

Nếu \(S_1^2 > S_2^2\) thì F phân phối theo qui luật Fisher - Snedecor với n- 1 và n- 1 bậc tự do.

Nếu giả thiết H0 đúng thì tiêu chuẩn kiểm định có dạng:

\(F = \frac{{S_1^2}}{{S_2^2}}\,\,(S_1^2 > S_2^2)\)   (8.27)

vẫn phân phối theo quy luật Fisher - Snedecor với n1-1 và n2-1 bậc tự do.

Miền bác bỏ giả thiết này phụ thuộc vào giả thiết đối và được cho ở bảng sau:

Giả thiết Miền bác bỏ
\(\begin{array}{l} {H_0}:\sigma _1^2 = \sigma _2^2\\ {H_1}:\sigma _1^2 < \sigma _2^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {F = \frac{{s_1^2}}{{s_2^2}}:F < {f_{1 - \alpha }}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:\sigma _1^2 = \sigma _2^2\\ {H_1}:\sigma _1^2 > \sigma _2^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {F = \frac{{s_1^2}}{{s_2^2}}:F > {f_{ \alpha }}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:\sigma _1^2 = \sigma _2^2\\ {H_1}:\sigma _1^2 \ne \sigma _2^2 \end{array}\) \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {F = \frac{{s_1^2}}{{s_2^2}}:F < {f_{1 - \alpha /2}}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right)\,\,hoặc\,\,F < {f_{\alpha /2}}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right)\,} \right\}\)

Thí dụ: Hai giống lúa có năng suất trung bình xấp xỉ nhau nhưng mức độ phân tán về năng suất có thể khác nhau. Để kiểm tra điều đó, người ta tiến hành lấy hai mẫu ứng với 2 giống lúa và thu được kết quả như sau:

Giống lúa Kích thước mẫu Phương sai mẫu

A

B

n1 = 41

n2 = 30

\(s_1^2 = 11,41\)

\(s_2^2 = 6,52\)

Với mức ý nghĩa \(\alpha\) = 0,05, hãy kết luận xem mức độ ổn định của năng suất đối với hai giống lúa trên có khác nhau hay không? Biết năng suất của hai giống lúa này là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Giải: Gọi X1 và X2 tương ứng là năng suất của giống lúa A, B. X1 và X2 là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

\({X_1} \sim N(\mu ,\sigma _1^2)\) và \({X_2} \sim N(\mu ,\sigma _2^2)\)

Ta cần kiểm định giả thiết: \({H_0}:\sigma _1^2 = \sigma _2^2;{H_1}:\sigma _1^2 \ne \sigma _2^2\)

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về sự bầng nhau của hai phương sai (kiểm định hai phía).

Theo (8.27), tiêu chuẩn kiểm định có dạng: \(F = \frac{{S_1^2}}{{S_2^2}}\)

Với \(\alpha =0,05\) thì:

\({F_{\alpha /2}}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right) = {F_{0,025}}\left( {40;29} \right) = 2,02756\)

\({F_{1 - \alpha /2}}\left( {{n_1} - 1;{n_2} - 1} \right) = {F_{0,975}}\left( {40;29} \right) = 0,5123\)

Vậy miền bác bỏ giả thiết H0 là: \({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {(0;0,5123) \cup (2,02756; + \infty )} \right\}\)

Với mẫu cụ thể đã cho, ta có: \(F = \frac{{s_1^2}}{{s_2^2}} = \frac{{11,41}}{{6,52}} = 1,75\)

\(F \notin {{\rm{W}}_\alpha }\) nên ta chưa có cơ sở bác bỏ giả thiết H0, tức mức độ phân tán (hay mức độ ổn định) của năng suất đối với hai giống lúa ttên là như nhau.