Bài 3: Suy luận quy nạp

Quy nạp là loại suy luận có hai thuộc tính cơ bản sau:

• (1) Xuất phát từ những tiền đề là những phán đoán cụ thể.
• (2) Kết luận rút ra là phán đoán khái quát hóa nói chung không mang tính tất suy lôgic.

Thí dụ:

• Đồng dẫn điện.
• Sắt dẫn điện.
• Nhôm dẫn điện.
• Đồng, sắt, nhôm đều là kim loại.

⇒ Vậy, mọi kim loại đều dẫn điện.

Hình thức lôgic có dạng sau đây:

• S₁ là P
• S₂ là P
• S₃ là P
• S₁, S₂, S₃ đều là S

⇒ Vậy, mọi S đều là P.

Như vậy, quy nạp và suy diễn về căn bản là hai quá trình ngược nhau: nếu suy diễn nói chung là quá trình đi từ nhũng tiền đề khái quát đến kết luận cụ thể thì quy nạp chỉ là quá trình đi từ nhũng tiền đề cụ thể đến kết luận khái quát. Ngoài ra, nếu suy diễn là quá trình tất suy lôgic, cho kết luận chắc chắn chân thực khi bảo đảm đầy đủ các điều kiện của suy luận đứng đắn thì quy nạp là quá trình không tất suy lôgic, kết luận chỉ gần chân thực, mức độ chân thực của kết luận quy nạp phụ thuộc vào số lượng và độ chân thực của các phán đoán tiền đề.

Lược đồ lôgic chung của quy nạp có dạng:  \(\sum\limits_{i - 1}^n T \)Đ_i 

Với ký hiệu  có nghĩa là có thể rút ra kết luận.

Quy nạp có nhiều loại khác nhau, nếu tổng kết được tất cả các trường hợp thì ta gọi là quy nạp hoàn toàn, trái lại thì gợi là quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp thông thường hàng ngày ta gọi là quy nạp phổ thống. Nó khác vối quy nạp khoa học. Quy nạp phổ thống dựa trên khái quát hóa kinh nghiệm thông thường. Trái lại, quy nạp khoa học dựa trên khái quát hóa các sự kiện thực nghiệm khoa học, chính xác, chặt chẽ hơn nhiều so với kinh nghiệm thông thường hàng ngày.

Thí dụ:

• Thủy tinh xoay quanh mặt trời theo quỹ đạo elíp.
• Kim tinh xoay quanh mặt tròi theo quỹ đạo elíp.
• Quả đất xoay quanh mặt trời theo quỹ đạo elíp.
• Hóa Linh xoay quanh mật trời theo quỹ đạo elíp.
• Mộc tinh xoay quanh mặt trời theo quỹ đạo elíp.
• Thô tinh xoay quanh mặt trời theo quỹ đạo elíp.
• Thiên vương tinh xoay quanh mặt tròi theo quỹ dạo elíp. Hải vương tinh xoay quanh mặt trời theo quỷ đạo elíp. Diêm vương tinh xoay quanh mặt trời theo quỹ dạo elíp. Tất cả các vật thể này đều là hành tinh của Thái dương hệ.

⇒ Vậy tất cả các hành tinh của Thái dương hệ đều quay xung quanh mặt trời theo quỹ đạo hình elíp.

Hình thức lôgic có dạng:

• S₁-P
• S₂-P
• S₃-P

⇒ Vậy S-P
Quy nạp hoàn toàn cần tuân theo một số yêu cầu lôgic sau đây:

• Phải biết chính xác số đối tượng và từng đối tượng của lớp cần khái quát, không được bỏ sót hoặc trùng lặp.
• Số đối tượng không lớn.
• Dấu hiệu khái quát hóa phải có trong mỗi đối tượng của lớp cần khái quát.

Vì những yêu cầu chặt chẽ như vậy, cho nên quy nạp hoàn toàn chỉ thực hiện được trong những trường hợp giản đơn khi người ta có điều kiện liệt kê đầy đủ tiền đề quy nap.

Trong toán học nói chung, số học nói riêng, người ta có thể sử dụng quy nạp hoàn toàn để chứng minh các định lý toán học. Quy nạp toán học có thể xuất phát từ vô số đối tượng để khái quát hóa một dặc tính nào đó của tập hợp vô hạn cần khái quát. Lược đồ logic chứng minh bằng quy nạp toán học có dạng như sau:

• Kết luận đúng với một hoặc một vài phần tử đầu tiên.
• Nếu kết để đúng với một phần tử bất kỳ thì nó cùng đúng với phần tử kế tiếp nó.

Thí dụ: chứng minh định lý số học sau đây:

Với mọi số le (2n-1) thì tổng n số lẻ liên tiếp đầu tiên:

(1 + 3 + 5 + ... + (2n-l)) = n²

Cách chứng minh định lý này theo 3 bước như sau:

Bước thứ nhất, ta phải chứng minh định lý trên đúng cho trường hợp n = 1. Điều này được thực hiện bằng cách thử n = 1 vào công thức ta thấy công thức đúng, vì đương nhiên 1 =1²

Bước thứ hai, ta giả định công thức trên đúng cho trường hợp n = k bất kỳ. Nghĩa là ta có công thức

1 + 3 + .... + (2k-l) = k² (1)

Bước thứ ba, ta phải chứng minh nếu n - k là dúng (theo giả định) thì công thức trên cũng đúng cho trường hợp n = k+1, nghĩa là phải chứng mmh:

1 + 3 +..... + (2k-l) + [2(k+1) - 1] = (k+1)² (2)

Sử dụng (1) thay vào (2), ta sẽ có: k2 + 2(k+1)-l = k2 + 2k +1 = (k+l)2. Đây là điều đã chứng minh.

Quy nạp không hoàn toàn có hai loại chính: (1) Quy nạp pho thống và (2) Quy nạp khoa học.

Thí dụ:

• Thiên nga ở châu Âu có lông trắng.
• Thiên nga ở châu Mỹ có lông trắng.
• Thiên nga ở châu Á có lông trắng.

⇒ Vậy mọi thiên nga đều có lông trắng.

Kết luận khái quát hóa quy nạp là chân thực cho đến khi người ta phát hiện ở Ôxtrâylia có thiên nga đen.

Quy nạp phổ thống thực chất là dựa trên sự liệt kê giản đơn các sự kiện kinh nghiệm, nhưng có thể kết luận khái quát hóa phóng đại.

Do đó, xác suất giá trị chân lý của kết luận thường là lớn hơn 0 nhưng rất nhỏ hơn 1. Nếu ký hiệu xác suất là p thì ta sẽ có công thức xác suất giá trị chân lý của kết luận quy nạp không hoàn toàn là:

0 < p<< 1

Như đã nói ở trên, kết luận quy nạp hoàn toàn là chân thực, nghĩa là xác suất giá trị chân lý của nó bằng 1; do đó, một cách tổng quát, giá trị chân lý của nó bằng 1. Như vậy, giá trị chân lý của kết luận quy nạp được hiển thị qua công thức sau:

0 < p \(\le \) 1

Quy nạp khoa học khác căn bản so với quy nạp phổ thông ở chỗ các tiền để là những sự kiện thực nghiệm khoa học chính xác.

Thí dụ:

Bằng quy nạp phổ thông người ta có thể thấy nước giãn nở ở nhiệt độ cao như 200c, 30°c, 40°c... và có thể kêt luận rằng sự Lăng nhiệt độ làm cho nước giãn nở. Nhưng kiểm tra nhiều lần bằng thực nghiệm vật lý thì người ta phát hiện ra rằng đặc biệt trong khoảng nhiệt độ từ 00 đến 4°c nước co lại chứ không giãn nở. Đó mới là quy nạp khoa học.

Ngày xưa thuần túy bằng trực quan thông thường người ta cho rằng quả đất đứng im và mọi vật xoay xung quanh nó. Nhưng đó chỉ là quy nạp phổ thông. Bằng quy nạp vật lý thiên văn, người ta nói quả đất không đứng im tuyệt đối, mà là một trong những hành tinh quay xung quanh mặt trời.

Nhờ quy nạp khoa học mà người ta phát hiện được những sai lầm thường gặp trong quy nạp phổ thông, nghĩa là tránh được những sai lôgic như:

• Khái quát hóa phóng đại
• Khái quát không có căn cứ đầy đủ
• Lẫn lộn giữa cái có điều kiện và cái vô điều kiện
• Lẫn lộn quan hệ trước - sau với quan hệ nhân - quả

Nguyên lý nhân quả là cơ sở lôgic của các phương pháp quy nạp khoa học. Nó thừa nhận rằng mọi sự vật, hiện tượng đều có nguyên nhân xác định và đều gây ra những kết quả nhất định.

Ph.Bêcơn và đặc biệt là G.X.Min trong tác pham "Bàn về lôgic" (viết năm 1843) đã xây dựng hệ thống phương pháp quy nạp khoa học để xác định nguyên nhân, khi đã biết một số hiện tượng coi như là kết quả của nó. Các phương pháp truy tìm nguyên nhân hao gồm:

Nếu hai hay nhiều trường hợp về hiện tượng được khảo sát, chỉ có một sự kiện chung thì sự kiện mà hết thảy mọi trường hợp về hiện tượng ấy đều phù hợp, phải là nguyên nhân của hiện tượng ấy.

Thí dụ: Thí nghiệm về dao động của con lắc toán học, tức là dao động của chất điểm, các nhà vật lý phát hiện ra rằng chu kỳ dao động (a) của con lắc chỉ giống nhau khi chiều dài (A) của sợi dây treo chất điểm giống nhau, nó không phụ thuộc vào chất liệu (B, D, G) và hình dạng (C, E, H) của con lắc. Từ đó, kết luận quy nạp rằng chính chiều dài (A) của con lắc toán học là nguyên nhân trực tiếp của chu kỳ dao động (a) của nó.

Lược đồ lôgic có dạng:

Phương pháp này còn được gọi là phương pháp giống nhau duy nhất. Xác suất chân lý của kết luận trong trường hợp này nói chung là nhô hơn hoặc bằng 1, vì thực chất nó dựa trên phép kéo theo tình thái:

A → a, a  A

Chỉ có cách thay đổi nhiều hoàn cảnh thí nghiệm khác nhau, thì mới có the làm cho xác suất chân lý của kết luận quy nạp gần bằng 1.

Phương pháp khác nhau duy nhất hay còn được gọi là phương pháp bất đồng được phát biểu như sau: một trường hợp có hiện tượng xuất hiện, một trường hợp không có. Nếu hai trường hợp ấy có hết thảy mọi sự kiện chung, duy chỉ trừ một sự kiện, thì sự kiện do đó mà hai trường hợp khác nhau chính là nguyên nhân của hiện tượng.

Thí dụ: Gõ một cái chuông ta nghe kêu (a) khi xung quanh có không khí (A); nó không phụ thuộc vào vật liệu (B) hoặc hình thức (C) chuông. Vậy có thể rút ra kết luận quy nạp rằng, không khí (A) là nguyên nhân của hiện tượng âm thanh lan truyền trong không gian (a).

Lược đồ lôgic có dạng:

Thực chất phương pháp bất đồng cũng dựa trên phép kéo theo tình thái:

A → a, \(\overline A \)  \(\overline a\)

Do đó, xác suất chân lý của kết luận quy nạp nói chung là nhỏ hdn 1, chỉ gần chân thực mà thôi.

Phương pháp cùng biến đổi hay là biến đổi kèm theo có lược đồ lôgic như sau:

Nguyên lý lôgic của phương pháp này là thừa nhận rằng nguyên nhân biến đổi tất yếu làm cho kết quả cũng biến đổi theo ít nhiều tương ứng.

Phương pháp phần dư hay là thặng dư có lược đồ lôgic như sau:

Các trường hợp	Hoàn cảnh	Hiện tượng quan sát
1. Hệ sự kiện thứ nhất 2. Hệ sự kiện thứ hai 3. Hệ sự kiện thứ ba .....	A.B.C A1.B.C A2.B.C ....	abc -b- -c- ....
Vậy, A là nguyên nhân của a

Thí dụ, Le Verier nhận thấy quỹ đạo thực của Thiên Vương tinh sai lệch so với tính toán lý thuyết. Kiểm tra kỹ ảnh hưỏng của các hành tinh khác và cả của mặt trời thì đều thấy không phải là nguyên nhân trực tiếp, Le Verier đề ra giả thuyết dựa trên phương pháp phần dư, cho rằng có lẽ tồn tại một hành tinh rất gần Thiên Vương tinh làm sai lệch quỹ dạo của nó. Ông đã dự đoán vị trí của hành tinh giả thuyết này. Và A. Gall đã phát hiện hành tinh giả thuyết đó bằng kính thiên văn (1846), ngày nay có tên gọi là Hải Vương Linh.