YOMEDIA
NONE

Chứng minh a/b+c-a+b/a+c-b+c/a+b-c>=3

1: Cho x,y,z>0. CMR: \(\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\)

2: Cho 0<x<\(\dfrac{1}{2}\). CMR: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1+2x}\ge8\\\)

3: Cho x,y>0 và x+y=1. CMR:

a)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{2}{x^2+y^2}\ge8\)

b)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge6\\ \)

4: CM các bđt sau: a) \(x^3+4x+1>3x^2\)

b)\(x^4-x+\dfrac{1}{2}>0\)

5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR:

a)\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)

b)\(\dfrac{1}{a+b},\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a}\)là 3 cạnh của 1 tam giác(cần CM theo bđt tam giác)

6: Cho a,b,c,d>0 và abcd=1. CMR:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phượng Nguyễn

    Bài 5:

    a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ac+bc-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}\)

    Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:

    \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\) \((1)\)

    Lại có:

    \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

    \(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\) \((2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

    b) Để CM \(\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a}\) ta cần chỉ ra:

    \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{c+a}\), \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b}\)

    Xét hiệu \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}=\frac{2b+a+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{1}{a+c}=\frac{b(a+c-b)+a^2+c^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

    Vì \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác nên hiệu trên luôn lớn hơn $0$

    Do đó \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)

    Hoàn toàn tương tự với các hiệu còn lại, ta thu được đpcm.

      bởi Phượng Nguyễn 26/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON