Bài 4: Không gian vectơ con


Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 4: Không gian vectơ con sau đây để tìm hiểu về không gian vecto con, không gian vecto con sinh bởi hệ vecto.

Tóm tắt lý thuyết

1. Không gian vectơ con

Tập con \(A \ne \emptyset \) của Rn được gọi là không gian vectơ con của Rn nếu:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,\forall x,y \in A,x + y \in A\\ (ii)\,\forall \alpha \in R,\forall x \in A,\alpha x \in A \end{array}\)

Ví dụ: Cho  \(A = {\rm{\{ }}({x_1};1)/{x_1} \in R{\rm{\} }}\). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ?

Giải:

Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) \(\notin \) A

Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R2.

Ví dụ: Cho \(A = \left\{ {({x_1};{x_2}) \in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} \right\}\). A có phải là không gian vectơcon của R2 không ?

Giải:

\((i)\,Coi\,x = ({x_1};{x_2}) \in A,\,y = ({y_1};{y_2}) \in A\,\,thì\,{x_2} = 3{x_2}\,và\,{y_2} = 3{y_1}\)

Suy ra: \(x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) \in A\,\,vì\,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1})\)

\((ii)\,\,Coi\,\alpha \in R,x = ({x_1};{x_2}) \in A\,thì\,{x_2} = 3x\)

Suy ra: \(\alpha x = (\alpha {x_1};\alpha {x_2}) \in A\,vì\,\alpha {x_2} = 3(\alpha {x_1})\)

Vậy, A là một không gian vectơ con của R2.

Trong R2:

  • Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
  • Không gian vectơ con 1 chiều là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơcon 2 chiều là chính R2.

Trong R3:

  • Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
  • Không gian vectơ con 1 chiều là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơ con 2 chiều là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơ con 3 chiều là chính R3.

Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A chứa vectơ không

Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con.

Ví dụ: A ={(x1; 1)} không phải là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không.

2. Không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ.

Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn.

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rn gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu \(\left\langle V \right\rangle \). Không gian \(\left\langle V \right\rangle \) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó.

Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này.

Giải

Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)

{(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)

Vậy, không gian con sinh bởi V là \(\left\langle V \right\rangle = {\rm{\{ (}}{{\rm{x}}_1};{x_2};0)/{x_1},{x_2} \in R{\rm{\} }}\) có \(\dim \left\langle V \right\rangle = 2\)