Bài 3: Cơ sở, tọa độ


Nội dung bài giảng Bài 3: Cơ sở, tọa độ sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về cơ sở và tọa độ.

Tóm tắt lý thuyết

1. Cơ sở 

Ta thấy mọi vectơ \(x=(x_1;x_2) \in R^2\) đều là tổ hợp tuyến tính của e1 = (1;0) và e2 = (0;1). Ngoài ra e1, e2 độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói {e1,e2} là một cơ sở của R2.

Để ý rằng \(x=(x_1;x_2) \in R^2\) cũng là tổ hợp tuyến tính của e1, e2 và c = (1; 1) vì

x = (x1;x2) = (x1 - 1).(1;0) + (x2 - 1).(0;1) +1.(1; 1)

Tuy nhiên, ta không nói e1, e2 và v là một cơ sơ của R2 vì chúng phụ thuộc tuyên tính.

Ta có định nghĩa cơ sở như sau :

(i) Một hệ các \(\left\{ {{v_1},...,{v_m}} \right\} \subset {R^n}\) gọi là một tập sinh của Rn nếu mọi vectơ của Rn đều là tổ hợp tuyến tính của \(\left\{ {{v_1},...,{v_m}} \right\} \)

(ii) Một tập sinh độc lập tuyến tính của Rn gọi là một cơ sở của Rn.

Ví dụ: Chứng minh v1 =(1; 1),v2 = (1; 2),v3 =(2; 1) là một tập sinh của R2

Giải:

 

\(x = ({x_1};{x_2}) = {\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + 2{\alpha _3} = {x_1}\\ {\alpha _1} + 2{\alpha _2} + {\alpha _3} = {x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = {x_1} - 2{\alpha _3}\\ {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = {x_2} - {\alpha _3} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 2{x_1} - {x_2} - 3{\alpha _3}\\ {\alpha _2} = - {x_1} + {x_2} + {a_3} \end{array} \right.\)

Chọn \({\alpha _3} = 1\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 2{x_1} - {x_2} - 3\\ {\alpha _2} = - {x_1} + {x_2} + 1 \end{array} \right.\)

Vậy \(({x_1};{x_2}) = (2{x_1} - {x_2} - 3).(1;1) + ( - {x_1} + {x_2} + 1).(1;2) + 1.(2;1)\) nghĩa là {v1, v2, v3} là tập sinh của R2.

Ví dụ: Chứng minh v1 = (1;1), v2 = (1;0) là một cơ sở của R2

Giải

(i) Chứng minh {v1, v2} là một tập sinh

\(x = ({x_1};{x_2}) = {\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = {x_1}\\ {\alpha _1} = {x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _2} = {x_1} - {x_2}\\ {\alpha _1} = {x_2} \end{array} \right.\)

Vậy (x1; x2) = x2.(1;1) + (x1 - x2).(1;0)

(ii) Chứng minh {v1, v2} độc lập tuyến tính

\({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _1} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _1} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy {v1, v2} là một cơ sở của R2

Như thế, ta thấy Rn có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, số vecto của mỗi cơ sở đều bằng n. Khi đó n gọi là số chiều của không gian Rn và ta viết: dim(Rn)=n

2. Tọa độ

Cho \(B = {\rm{\{ }}{u_1},{u_2},...{u_n}\} \) là một cơ sở của Rn và \(x \in R^n\). Khi đó tồn tại các số thực \({\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n}\)sao cho 

\(x = {\lambda _1}{u_1} + {\lambda _2}{u_2} + ... + {\lambda _n}{u_n}\)

Ta gọi \(({\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n})\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l} {\lambda _1}\\ {\lambda _2}\\ .\\ {\lambda _n} \end{array} \right]\) là tọa độ của vectơ X trong cơ sở B, ký hiệu \({\left[ x \right]_B}\)

Ví dụ:

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;0),(0;1)} là (2,3) vì: (2; 3) = 2(1; 0) + 3(0; 1)

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;1),(1;0)} là (3,-1) vì (2; 3) = 3(1; 1) - 1(1; 0)

Chú ý: Người ta chứng minh được trong Rn, cứ n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành một cơ sở. Vì vậy, để chứng minh n vectơ tạo thành một cơ sở của Rn, ta chỉ cần chứng minh chúng độc lập tuyến tính.

Ví dụ: v1 = (1;2), v2 = (2; 1), v3 = (3;4) có tạo thành một cơ sở của R2 không?

Giải: Không, vì cơ sở của R2 phải có đúng 2 vectơ.

Ví dụ: Cho v1=(1;2;3), v2 = (1;2:0), v3 =(1;0;0)

a. Chứng minh: {v1, v2, v3} thành một cơ sở của không gian R3.

b. Tìm tọa độ của v = (-1;2;-3) trong cơ sở nói trên.

Giải

a. \({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 2{\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 3{\alpha _1} = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\)

Do đó {v1, v2, v3} là một hệ vecto độc lập tuyến tính trong R3

Vì {v1, v2, v3} gồm ba vecto độc lập tuyến tính trong R3 nên {v1, v2, v3} là một cơ sở của R3

b. \(( - 1;2; - 3) = {\alpha _1}(1;2;3) + {\alpha _2}(1;2;0) + {\alpha _3}(1;0;0)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = - 1\\ 2{\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 2\\ 3{\alpha _1} = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = - 1\\ {\alpha _2} = 2\\ {\alpha _3} = - 2 \end{array} \right.\)

Vậy (-1;2;-3) = -1(1;2;3) + 2(1;2;0) - 2(1;0;0) hay tọa độ của vecto (-1;2;-2) trong cơ sở  {v1, v2, v3} là (-1;2;-2).

Chú ý: Do mọi cơ sở của Rn đều gồm n vecto nên không thể có nhiều hơn n vecto trong Rn độc lập tuyến tính.

Ví dụ: Xét hệ gồm các vecto

v1 =(1;2;3), v2=(2;1;0), v3=(-1;0;1), v4=(0;2;-2)

Hệ {v1, v2, v3, v4} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải:

Vì trong R3 chỉ có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính nên {v1, v2, v3, v4phụ thuộc tuyến tính.