YOMEDIA

Bài 3: Cơ sở, tọa độ


Nội dung bài giảng Bài 3: Cơ sở, tọa độ sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về cơ sở và tọa độ.

ADMICRO
Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

Tóm tắt lý thuyết

1. Cơ sở 

Ta thấy mọi vectơ \(x=(x_1;x_2) \in R^2\) đều là tổ hợp tuyến tính của e1 = (1;0) và e2 = (0;1). Ngoài ra e1, e2 độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói {e1,e2} là một cơ sở của R2.

Để ý rằng \(x=(x_1;x_2) \in R^2\) cũng là tổ hợp tuyến tính của e1, e2 và c = (1; 1) vì

x = (x1;x2) = (x1 - 1).(1;0) + (x2 - 1).(0;1) +1.(1; 1)

Tuy nhiên, ta không nói e1, e2 và v là một cơ sơ của R2 vì chúng phụ thuộc tuyên tính.

Ta có định nghĩa cơ sở như sau :

(i) Một hệ các \(\left\{ {{v_1},...,{v_m}} \right\} \subset {R^n}\) gọi là một tập sinh của Rn nếu mọi vectơ của Rn đều là tổ hợp tuyến tính của \(\left\{ {{v_1},...,{v_m}} \right\} \)

(ii) Một tập sinh độc lập tuyến tính của Rn gọi là một cơ sở của Rn.

Ví dụ: Chứng minh v1 =(1; 1),v2 = (1; 2),v3 =(2; 1) là một tập sinh của R2

Giải:

 

\(x = ({x_1};{x_2}) = {\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + 2{\alpha _3} = {x_1}\\ {\alpha _1} + 2{\alpha _2} + {\alpha _3} = {x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = {x_1} - 2{\alpha _3}\\ {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = {x_2} - {\alpha _3} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 2{x_1} - {x_2} - 3{\alpha _3}\\ {\alpha _2} = - {x_1} + {x_2} + {a_3} \end{array} \right.\)

Chọn \({\alpha _3} = 1\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 2{x_1} - {x_2} - 3\\ {\alpha _2} = - {x_1} + {x_2} + 1 \end{array} \right.\)

Vậy \(({x_1};{x_2}) = (2{x_1} - {x_2} - 3).(1;1) + ( - {x_1} + {x_2} + 1).(1;2) + 1.(2;1)\) nghĩa là {v1, v2, v3} là tập sinh của R2.

Ví dụ: Chứng minh v1 = (1;1), v2 = (1;0) là một cơ sở của R2

Giải

(i) Chứng minh {v1, v2} là một tập sinh

\(x = ({x_1};{x_2}) = {\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = {x_1}\\ {\alpha _1} = {x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _2} = {x_1} - {x_2}\\ {\alpha _1} = {x_2} \end{array} \right.\)

Vậy (x1; x2) = x2.(1;1) + (x1 - x2).(1;0)

(ii) Chứng minh {v1, v2} độc lập tuyến tính

\({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _1} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _1} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy {v1, v2} là một cơ sở của R2

Như thế, ta thấy Rn có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, số vecto của mỗi cơ sở đều bằng n. Khi đó n gọi là số chiều của không gian Rn và ta viết: dim(Rn)=n

2. Tọa độ

Cho \(B = {\rm{\{ }}{u_1},{u_2},...{u_n}\} \) là một cơ sở của Rn và \(x \in R^n\). Khi đó tồn tại các số thực \({\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n}\)sao cho 

\(x = {\lambda _1}{u_1} + {\lambda _2}{u_2} + ... + {\lambda _n}{u_n}\)

Ta gọi \(({\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n})\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l} {\lambda _1}\\ {\lambda _2}\\ .\\ {\lambda _n} \end{array} \right]\) là tọa độ của vectơ X trong cơ sở B, ký hiệu \({\left[ x \right]_B}\)

Ví dụ:

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;0),(0;1)} là (2,3) vì: (2; 3) = 2(1; 0) + 3(0; 1)

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;1),(1;0)} là (3,-1) vì (2; 3) = 3(1; 1) - 1(1; 0)

Chú ý: Người ta chứng minh được trong Rn, cứ n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành một cơ sở. Vì vậy, để chứng minh n vectơ tạo thành một cơ sở của Rn, ta chỉ cần chứng minh chúng độc lập tuyến tính.

Ví dụ: v1 = (1;2), v2 = (2; 1), v3 = (3;4) có tạo thành một cơ sở của R2 không?

Giải: Không, vì cơ sở của R2 phải có đúng 2 vectơ.

Ví dụ: Cho v1=(1;2;3), v2 = (1;2:0), v3 =(1;0;0)

a. Chứng minh: {v1, v2, v3} thành một cơ sở của không gian R3.

b. Tìm tọa độ của v = (-1;2;-3) trong cơ sở nói trên.

Giải

a. \({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 2{\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 3{\alpha _1} = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\)

Do đó {v1, v2, v3} là một hệ vecto độc lập tuyến tính trong R3

Vì {v1, v2, v3} gồm ba vecto độc lập tuyến tính trong R3 nên {v1, v2, v3} là một cơ sở của R3

b. \(( - 1;2; - 3) = {\alpha _1}(1;2;3) + {\alpha _2}(1;2;0) + {\alpha _3}(1;0;0)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = - 1\\ 2{\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 2\\ 3{\alpha _1} = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = - 1\\ {\alpha _2} = 2\\ {\alpha _3} = - 2 \end{array} \right.\)

Vậy (-1;2;-3) = -1(1;2;3) + 2(1;2;0) - 2(1;0;0) hay tọa độ của vecto (-1;2;-2) trong cơ sở  {v1, v2, v3} là (-1;2;-2).

Chú ý: Do mọi cơ sở của Rn đều gồm n vecto nên không thể có nhiều hơn n vecto trong Rn độc lập tuyến tính.

Ví dụ: Xét hệ gồm các vecto

v1 =(1;2;3), v2=(2;1;0), v3=(-1;0;1), v4=(0;2;-2)

Hệ {v1, v2, v3, v4} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải:

Vì trong R3 chỉ có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính nên {v1, v2, v3, v4phụ thuộc tuyến tính.

 

YOMEDIA