YOMEDIA

Bài 1: Không gian vectơ R


Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Không gian vectơ R sau đây để tìm hiểu về vectơ, các phép toán vectơ.

 

ADSENSE
Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

Tóm tắt lý thuyết

1. Vectơ

Cho hai tập hợp A. B .

Ta định nghĩa tích Descartes của A và B như sau:

 \(AxB = \left\{ {(x;y)/x \in A,y \in B} \right\}\)

Khi A = B, A x B ký hiệu là A2. Tương tự cho A3, A4...

  • Tập hợp R" được định nghĩa như sau:

\(R'' = \left\{ {x = ({x_1};{x_2};....{x_n})/{x_i} \in R,i = \overline {1,n} } \right\}\)

\({x = ({x_1};{x_2};....{x_n})}\) gọi là vectơ trong R".

  • Cho các vectơ

\(x = ({x_1};{x_2};....{x_n}) \in {R^n}\) và \(y = ({y_1};{y_2};....{y_n}) \in {R^n}\) Ta có : \(x = y \Leftrightarrow {x_i} = {y_i},\forall i = \overline {1,n} \)

Ví dụ: Giả sử mỗi buổi sáng ông A đi bộ 3 km, sau đó ăn 1 cái bánh bao và uống 2 ly sữa. Các số liệu trên có thể biểu diễn bởi một vectơ trong R3 là (3; 1;2)

 Vectơ \({x = ({x_1};{x_2};....{x_n})}\)còn được viết là \(x = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ .\\ {x_n} \end{array} \right)\)

2. Các phép toán vectơ

  • Cho \(x,{\rm{ }}y{\rm{ }} \in {\rm{ }}R"\), ta có :

\(x + y = z \in {R^n}\) xác định bởi \({z_i} = {x_i} + {y_i},\forall i = \overline {1,n} \)

  • Cho \(\alpha \in R\), ta có \(\alpha x \in z\) xác định bởi\({z_i} = \alpha {x_i},\forall i = \overline {1,n} \)

Ví dụ: 2(1; 3;-2) - 5(2; 0; 1)

= (2; 6;-4) + (-10;0;-5)

= (-8;6;-9)

Với \(\alpha ,\beta \in R;x,y \in {R^n}\). Ta có:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,x + y = y + x\\ (ii)\,(x + y) + z = x + (y + z)\\ (iii)\,x + O = x\,\,với\,O = (0,...,0) \in {R^n}\\ (iv)\,\,x + ( - x) = O\,\,với\, - x = ( - {x_1}, - {x_2},..., - {x_n}) \in {R^n}\\ (v)\,\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y\\ (vi)\,\,(\alpha + \beta )x = \alpha x + \beta y\\ (vii)\,(\alpha \beta )x = \alpha (\beta x)\\ (viii)1.x = x \end{array}\)

Tập R" với phép cộng hai vectơ, phép nhân một số thực với một vectơ, thỏa 8 tính chất nêu trên, được gọi là không gian vectơ R''.

  • Ta định nghĩa độ dài của vectơ \(x \in {R^n}\) như sau: 

\(\left\| x \right\| = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} } \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Ví dụ: \(\left\| {(1; - 2;3)} \right\| = {\left( {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {14} \)

  • Với \(x,y \in R''\) ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau:

\(x.y = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} \)

Ví dụ: (1;-2;3).(2;1:-4) = 1.2 + (-2).1 + 3(-4) = -12

  • Nếu x.y = 0, ta nói x và y trục giao với nhau và ta viết

\(x \bot y\)

Ví dụ: (1; 0; 0) \(\bot\) (0;1;0) vì (1;0;0).(0;1;0) = 0

 

YOMEDIA