Bài 1: Không gian vectơ R


Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Không gian vectơ R sau đây để tìm hiểu về vectơ, các phép toán vectơ.

 

Tóm tắt lý thuyết

1. Vectơ

Cho hai tập hợp A. B .

Ta định nghĩa tích Descartes của A và B như sau:

 \(AxB = \left\{ {(x;y)/x \in A,y \in B} \right\}\)

Khi A = B, A x B ký hiệu là A2. Tương tự cho A3, A4...

  • Tập hợp R" được định nghĩa như sau:

\(R'' = \left\{ {x = ({x_1};{x_2};....{x_n})/{x_i} \in R,i = \overline {1,n} } \right\}\)

\({x = ({x_1};{x_2};....{x_n})}\) gọi là vectơ trong R".

  • Cho các vectơ

\(x = ({x_1};{x_2};....{x_n}) \in {R^n}\) và \(y = ({y_1};{y_2};....{y_n}) \in {R^n}\) Ta có : \(x = y \Leftrightarrow {x_i} = {y_i},\forall i = \overline {1,n} \)

Ví dụ: Giả sử mỗi buổi sáng ông A đi bộ 3 km, sau đó ăn 1 cái bánh bao và uống 2 ly sữa. Các số liệu trên có thể biểu diễn bởi một vectơ trong R3 là (3; 1;2)

 Vectơ \({x = ({x_1};{x_2};....{x_n})}\)còn được viết là \(x = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ .\\ {x_n} \end{array} \right)\)

2. Các phép toán vectơ

  • Cho \(x,{\rm{ }}y{\rm{ }} \in {\rm{ }}R"\), ta có :

\(x + y = z \in {R^n}\) xác định bởi \({z_i} = {x_i} + {y_i},\forall i = \overline {1,n} \)

  • Cho \(\alpha \in R\), ta có \(\alpha x \in z\) xác định bởi\({z_i} = \alpha {x_i},\forall i = \overline {1,n} \)

Ví dụ: 2(1; 3;-2) - 5(2; 0; 1)

= (2; 6;-4) + (-10;0;-5)

= (-8;6;-9)

Với \(\alpha ,\beta \in R;x,y \in {R^n}\). Ta có:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,x + y = y + x\\ (ii)\,(x + y) + z = x + (y + z)\\ (iii)\,x + O = x\,\,với\,O = (0,...,0) \in {R^n}\\ (iv)\,\,x + ( - x) = O\,\,với\, - x = ( - {x_1}, - {x_2},..., - {x_n}) \in {R^n}\\ (v)\,\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y\\ (vi)\,\,(\alpha + \beta )x = \alpha x + \beta y\\ (vii)\,(\alpha \beta )x = \alpha (\beta x)\\ (viii)1.x = x \end{array}\)

Tập R" với phép cộng hai vectơ, phép nhân một số thực với một vectơ, thỏa 8 tính chất nêu trên, được gọi là không gian vectơ R''.

  • Ta định nghĩa độ dài của vectơ \(x \in {R^n}\) như sau: 

\(\left\| x \right\| = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} } \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Ví dụ: \(\left\| {(1; - 2;3)} \right\| = {\left( {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {14} \)

  • Với \(x,y \in R''\) ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau:

\(x.y = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} \)

Ví dụ: (1;-2;3).(2;1:-4) = 1.2 + (-2).1 + 3(-4) = -12

  • Nếu x.y = 0, ta nói x và y trục giao với nhau và ta viết

\(x \bot y\)

Ví dụ: (1; 0; 0) \(\bot\) (0;1;0) vì (1;0;0).(0;1;0) = 0