Bài 1: Ma trận


Nội dung bài giảng Bài 1: Ma trận sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về định nghĩa, các loại ma trận, các phép toán trên ma trận.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa.

Một ma trận A cấp m x n là một bảng số gồm m x n số thực, xếp thành m dòng và n cột (m, n = 1,2,3...).

Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\, - 4 \end{array} \right)\) là một ma trận cấp 2 x 3

Phần tử ở dòng i, cột j của ma trận A ký hiệu là \({a_{{\rm{ij}}}}\). Trong ví dụ trên \({a_{23}} = - 4,a = - 1\)

Ta ký hiệu ma trận A cấp m x n như sau: \({A_{m\,x\,n}}\,hay\,\,{({a_{{\rm{ij}}}})_{m\,\,x\,n}}\)

2. Các loại ma trận.

Ma trận vuông: là ma trận mà số dòng bằng số cột. Khi đó, đường chéo nối các phần tử a11, a22, ann được gọi là đường chéo chính của ma trận vuông.

Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông mà các phần tử ở dưới đường chéo chính đều bằng 0.

Ma trận tam giác dưới: là ma trận vuông mà các phần tứ ờ trcn đường chéo chính đều bang 0.

Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phân tử không thuộc đường chéo chính đều bằng 0.

Ma trận đơn vị In: là ma trận chéo mà các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1.

Ma trận Om x n là ma trận gồm toàn số 0.

Ví dụ:

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,6\\ 2\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,3\\ - 1\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,2 \end{array} \right\}\) là một ma trận vuông cấp 3

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,3 \end{array} \right\}\)là một ma trận tam giác trên

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,4 \end{array} \right\}\)là một ma trận dưới

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right\}\)là một ma trận chéo

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right\}\)là ma trận đơn vị cấp 3, ký hiệu là I3

\({O_{2x3}} = \left( \begin{array}{l} 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \end{array} \right)\)

3. Các phép toán trên ma trận.

Ma trận hằng nhau: Hai ma trận cùng cấp gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

\({A_{mxn}} = {B_{mxn}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{ij}}}} = {b_{{\rm{ij}}}},\,\forall i = \overline {1,m} \,\,và\,\,\forall j = \overline {1,n} \)

Phép cộng: Ta cộng hai ma trận cùng cấp bằng cách cộng các phần tử tương ứng.

\({A_{mxn}} + {B_{mxn}} = {({a_{{\rm{ij}}}} + {b_{{\rm{ij}}}})_{mxn}}\)

\(\left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\ - 2\,\,\,\,\,4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{l} - 3\,\,\,\,\,\,2\\ 1\,\,\,\,\,\, - 4\\ 2\,\,\,\,\, - 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right)\)

Phép cộng có các tính chất sau:

(i) A + B = D + A

(ii) (A + B) + C = A + (B + C)

(iii) A + O = O + A với O = (0)mxn

(iv) A + (-A) = O với -A = (-aij)mxn

Phép nhân một số thực với một ma trận: Ta nhân một số thực với một ma trận bằng cách nhân so ấy với từng phần tử của ma trận.

\(\alpha {({{\rm{a}}_{{\rm{ij}}}})_{mxn}} = {(\alpha {{\rm{a}}_{{\rm{ij}}}})_{mxn}}\)

Ví dụ: \( - 2\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,0\\ - 3\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 6\,\,\,\,\, - 8\,\,\,\,\, - 4 \end{array} \right)\)

Phép nhân một số với một ma trận có các tính chất sau:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,\,\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B\\ (ii)\,\,(\alpha + \beta )A = \alpha A + \beta B\\ (iii)\,\,(\alpha \beta )A = \alpha (\beta A)\\ (iv)\,\,1.A = A \end{array}\)

Chuyến vị: Chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là A' (hay A'), là ma trận có được từ A bằng cách đổi dòng thành cột.

\(B = A' \Leftrightarrow {b_{{\rm{ij}}}} = {a_{{\rm{ij}}}},\forall i,j\)

Ví dụ: \(\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,3\\ 2\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)' = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\\ - 2\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)\)

Ta có một số tính chất sau đây:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,(A') = A\\ (ii)\,\,(A + B)' = A' + B'\\ (iii)\,(\alpha A)' = \alpha A' \end{array}\)

Phép nhân ma trận với ma trận: Cho hai ma trận Amxn, Bnxp (số cột của A bằng số dòng của B). Ta định nghĩa tích của A và B là ma trận Cmxp xác định bởi \({c_{{\rm{ij}}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}} \)

(cij là tích vô hướng dòng i của A với cột j của B)

Ví dụ: \(\left( \begin{array}{l} 2\,\,\, - 2\,\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,\,\,3\,\,\, - 4 \end{array} \right).\left( \begin{array}{l} 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,2\\ - 2\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,3\,\\ - 3\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ 6\,\,\,\,\,\,\,11\,\,\,\, - 9 \end{array} \right)\)

c21= (1, 3,-4).(0;-2;-3) = 1.0 + 3(-2) + (-4).(-3) = 6

Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất sau:

(i) Nói chung AB \(\ne \) BA

(ii) (AB)C = A(BC)

(iii) A(B + C) = AB + AC

(iv) (A + B)C = AC + BC (giả sử A, B cùng cỡ và AC tồn tại)

(v) x.y = x'y với x,y \( \in \) Rn

(vi) \({I_n}{A_{n\,x\,k}} = A,{A_{m\,x\,n\,}}{I_n} = A\) với In là ma trận đơn vị cấp n

(vii) (AB)' = B'A'

Ví dụ: 

\(\left( \begin{array}{l} 1\\ - 2\\ 3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 2\\ 4\\ - 1 \end{array} \right)= (1\,\, - 2\,\,3)\left( \begin{array}{l} 2\\ 4\\ - 1 \end{array} \right)\)

\( = (1\,\, - 2\,\,3).(2\,\,\,4\,\, - 1) = - 9\)

Ví dụ: Với \({A_{2x3}} = \left( \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right),{B_{3x1}} = \left( \begin{array}{l} - 1\\ 5\\ 4 \end{array} \right)\)thì AB xác định nhưng BA không xác định.

Ví dụ: Giả sử lượng cá, thịt heo và trái cây (tính bằng kg) của một khách hàng mua ở siêu thị cho bởi vectơ x = (3,2,5). Giả sử giá tương ứng (tính bằng 10.000 đồng/kg) cho bởi vectơ y = (2,5,1). Cho biết ý nghĩa của x'y.

Giải:

Ta có: x'y = x.y = (3,2,5).(2,5,1) = 3 x 2 + 2 x 5 + 5 x 1 = 21

Vậy x'y (21 x 10.000 đồng/kg) là số tiền mà khách hàng phải trả cho ba mặt hàng nói trên.

Ví dụ: Một công ty thương mại có hai cửa hàng bán lẻ I và II, bán 3 mặt hàng: quạt điện, tủ lạnh, tivi. Lượng hàng bán được trong ngày của hai cửa hàng cho bởi 2 dòng của ma trận sau

\(A = \left( \begin{array}{l} 3\,\,\,\,1\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,0\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)

Giả sử giá các mặt hàng tương ứng (tính bằng 100.000 đồng) tại hai cửa hàng cho bởi

Cho biết ý nghĩa của các phần tử của AB.

Giải:

Ta có: \(AB = \left( \begin{array}{l} 3\,\,\,\,1\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,0\,\,\,\,2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \,\,1\\ 20\\ 25 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 23\\ 51 \end{array} \right)\)

Vậy các phần tử của AB là tiền bán được trong ngày của từng cửa hàng (trong ngày, cửa hàng I bán được 23 x 100.000 đồng và cửa hàng II bán được 51 x 100.000 đồng).

Ví dụ: Giả sử giá bán (đơn vị là 10.000 đồng/kg) của chuối, bưởi và xoài vào các ngày 1/1 và 1/7 lần lượt cho bởi 2 cột của ma trận sau

\(P = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1,1\\ 2\,\,\,\,1,9\\ 3\,\,\,\,3,2 \end{array} \right)\)

Giả sử lượng hàng tương ứng mua vào 2 ngày nói trên cho bởi cột của ma trận sau đây

\(Q = \left( \begin{array}{l} 4\,\,\,\,\,3\\ 2\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,4 \end{array} \right)\)

 

Cho biết ý nghĩa của phần tử Q'P.

Giải:

Ta có: \(V = Q'P = \left( \begin{array}{l} 4\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1,1\\ 2\,\,\,\,\,1,9\\ 3\,\,\,\,\,3,2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 17\,\,\,\,\,17,8\\ 21\,\,\,\,\,21,8 \end{array} \right)\)

v11 = 17 là tiền mua hàng ngày 1/1 tính theo giá ngày 1/1

v12 = 17,8 là tiền mua hàng ngày 1/1 tính theo giá ngày 1/7

v21 = 21 là tiền mua hàng ngày 1/7 tính theo giá ngày 1/1

v22 = 21,8 là tiền mua hàng ngày 1/7 tính theo giá ngày 1/7

Trong ví dụ trên, lấy ngày 1/1 làm ngày cơ sở. Ta có v11, v12 lần lượt là giá của rỗ hàng hóa cơ sở (mua tại ngày cơ sở 1/1) tính tại ngày cơ sở 1/1 và ngày 1/7. Khi đó: cho ta biết giá rỗ hàng cơ sở (mua tại ngày 1/1) tăng khoảng 4,7% tính từ ngày cơ sở 1/1 đến ngày đang xét 1/7. Khi đó \(\frac{{{v_{12}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{17,8}}{{17}} \simeq 1,047\) cho ta biết giá rỗ hàng cơ sở (mua hàng ngày 1/1) tăng khoảng 4,7% tính từ ngày cơ sở 1/1 đến ngày đang xét 1/7. Con số này được gọi là chỉ số giá Laspeyres.

Bây giờ, lấy ngày đang xét 1/7 làm ngày cơ sở. Ta có v21, v22 lần lượt là giá của rỗ hàng hóa cơ sở (mua tại ngày cơ sở 1/7) tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở 1/7. Con số này được gọi là chỉ sổ giá Paasche.