AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

    1) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng BC.

    2) Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \cos \alpha  + cos\beta  + cos\gamma \).

    Lời giải tham khảo:

    1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
    OA \bot OB\\
    OA \bot OC\\
    OB \cap OC = O
    \end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

    2) Gọi H là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)

    Chứng minh được \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

    Chỉ ra được \(\sin  = \alpha \frac{{OH}}{{OA}},\sin \beta  = \frac{{OH}}{{OB}},\sin \gamma  = \frac{{OH}}{{OC}}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 2\)

    Ta lại có: 

    \(\begin{array}{l}
    {\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma } \right)^2} \le 3\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma } \right) = 6\\
     \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  + {\rm{cos}}\beta  + {\rm{cos}}\gamma  \le \sqrt 6 
    \end{array}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\sqrt 6 \)

    Dấu bằng xảy ra khi \(\cos \alpha  = \cos \beta  = \cos \gamma  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>