Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB = 2cm, AC = 4cm. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho \(\widehat {ABM} = \widehat {ACB}\).

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\widehat A\) chung 

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACB}\)

Do đó \(\Delta ABM\) ∽ \(\Delta ACB\) (g - g)

b) Vì \(\Delta ABM\) ∽ \(\Delta ACB\) (cmt)

và \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (Đ/n hai tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow AM = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1(cm)\)

c) Vì \(\Delta ABM\) ∽ \(\Delta ACB\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {ABC}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {ABH}\)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AKM\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AKM} = {90^0}\) (Vì \(AH\bot BC, AK\bot BM\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {AMK}\) (cmt)

Do đó \(\Delta AHB\) ∽ \(\Delta AKM\) (g - g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AB}}{{AM}}\) 

\( \Rightarrow AH.AM = AB.AK\) (đpcm)