Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.

Câu hỏi:
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.

a) Chứng minh \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng

b) Vẽ tia phân giác của góc BAH cắt cạnh BH tại D. Tính độ dài các cạnh BD, DH

c) Trên cạnh HC lấy điểm E sao cho HE = HA, qua E vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh BC cắt cạnh AC tại M, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh BC cắt tia phân giác của góc MEC tại F. Chứng minh: Ba điểm H, M, F thẳng hàng.

Lời giải tham khảo:

a) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có

\(\widehat {ABC}\) chung

\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta ABC\left( {g - g} \right)\)

b) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (đl Pytago)

\(=15^2+20^2=625\)

\( \Rightarrow BC = 25\left( {cm} \right)\)

Vì \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) (cmt)

\( \Rightarrow \;\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{HB}}{{15}} = \frac{{15}}{{25}}\)

Nên \(BH = \frac{{15 \cdot 15}}{{25}} = 9\) (cm)

Và \(\frac{{HA}}{{AC}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{HA}}{{20}} = \frac{{15}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{20 \cdot 15}}{{25}} = 12\) (cm)

Xét \(\Delta ABH\) có AD là phân giác theo gt

Ta có \(\frac{{DB}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{{DB}}{5} = \frac{{DH}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{5} = \frac{{DH}}{4} = \frac{{DB + DH}}{{5 + 4}} = \frac{{BH}}{9} = \frac{9}{9} = 1\)

\( \Rightarrow DB = 5 \cdot 1 = 5\,\,\left( {cm} \right)\) và \(DH = 4 \cdot 1 = 4\) (cm)

c) Xét \(\Delta AHC\) có:

ME // AH (cùng vuông góc với BC\)

\( \Rightarrow \frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{CE}}{{EH}}\) (1) (ĐL Ta - let)

Mà CE = CF (cmt) và HE = HA (gt)

\( \Rightarrow \frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{CF}}{{AH}}\)

Ta có: CF // AH (cùng vuông góc với BC)

Xét \(\Delta MCF\) và \(\Delta MAH\) có:

\(\widehat {MCF} = \widehat {MAH}\) (So le trong: CF// AH)

\(\frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{CE}}{{EH}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta MCF \sim \Delta MAH\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {CMF} = \widehat {AMH}\)

Mà \(\widehat {AMH} + \widehat {HMC} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {CMF} + \widehat {HMC} = {180^0}\)

Suy ra 3 điểm H, M, F thẳng hàng

Lưu ý: Đây là câu hỏi tự luận.

ADSENSE