Bài 5: Mẫu ngẫu nhiên hai chiều

Giả sử trên cùng một tổng thể ta cần phải nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu (định tính hoặc đinh lượng), trong đó dấu hiệu thứ nhất có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên X, dấu hiệu thứ hai có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên Y. Khi đó việc nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu được xem như nghiên cứu một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều.

Từ tổng thể lấy một mẫu kích thước n, tức thực hiện n phép thử đối với đại lượng ngẫu nhiên (X, Y). Gọi (X_i, Y_i) (i = 1, 2,..., n) là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) thu thập được trên phần tử thứ i được chọn vào mẫu \(\left( {i = \overline {1,n} } \right)\). Khi đó ta có n đại lượng ngẫu nhiên hai chiều độc lập. Từ đó ta có định nghĩa mẫu ngẫu nhiên hai chiều như sau:

Mẫu ngẫu nhiên hai chiều kích thước n là tập hợp n đại lượng ngẫu nhiên độc lập: (X₁, Y₁), (X₂, Y₂),...., (X_n , Y_n) được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) và có cùng qui luật phân phối xác suất với (X,Y)

Mầu ngẫu nhiên hai chiều được ký hiệu là:

W_XY =[(X₁,Y₁),(X₂,Y₂).......... (X_n,Y_n)]

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên W_XY, tức thực hiện một phép thử đối với mỗi thành phần của mẫu. Giả sử (X_i, Y_i) nhận giá trị \((x_i,y_i)\left( {i = \overline {1,n} } \right)\), khi đó ta sẽ thu được một mẫu cụ thể:

W_xy = [(x₁,y₁),(x₂,y₂).......... ,(x_n,y_n)]

Giả sử từ tổng thể chọn ra một mẫu ngẫu nhiên hai chiều kích thước n. Trong đó thành phần X nhận các giá trị: x₁, x₂,... , x_k và thành phần Y nhận các giá trị: y₁, y₂,..., y_h.Trong đó giá trị (x_i, y_i) xuất hiện với tần số \({n_{{\rm{ij}}}}(i = \overline {1,k} ;j = \overline {1,h} ).\). Sau khi các giá trị x_i và y_i được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì mẫu cụ thể W_xy có thể được mô tả bằng bảng phân phối tần số thực nghiệm sau:

Bảng 6.35

Trong đó:

\({n_i} = \sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}}\,\,tần \, số\,của\,{x_i}} \,\left( {i = \overline {1.k} } \right)\)

\({m_i} = \sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}}\,\,tần \, số\,của\,{x_i}} \,\left( {j = \overline {1.h} } \right)\)

Từ bảng phân phối thực nghiệm của mẫu ngẫu nhiên hai chiều ta có thể rút ra:

Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần X

Từ bảng này ta sẽ tính được các tham số đặc trưng mẫu đối với X.

Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần Y

Từ bảng này ta sẽ tính được các tham số đặc trưng mẫu đối với Y.

Bảng phân phôi có điều kiện thực nghiệm của Y khi X = x_i

Trong đó: \(\sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}} = {n_i}} \)

Từ bảng này ta sẽ tính được trung bình có điều kiện của Y (điều kiện X = x_i).

\(\overline {{y_{xi}}} = \frac{1}{{{n_i}}}\sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}}{y_i}} \)

Bảng phân phối có điều kiện thực nghiệm của X khi Y=y_j

Trong đó: \(\sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}} = {m_i}} \)

Từ bảng này ta sẽ tính được trung bình có điều kiện của X (điều kiện Y = y_j).

\(\overline {{x_{yi}}} = \frac{1}{{{m_j}}}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}}{x_i}} \)