Bài 3: Phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện


Nội dung bài giảng Bài 3: Phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về xác suất có điều kiện, phân phối xác suất có điều kiện, hàm mật độ có điều kiện, hàm hồi qui.

Tóm tắt lý thuyết

1. Xác suất có điều kiện

Khi cho X = xk hoặc Y = yk cố định, ta có thể tính được các xác suất có điều kiện theo các công thức sau:

  • \(P(X = {x_i}/Y = {y_k}) = \frac{{P\left[ {(X = {x_i})(Y = {y_k})} \right]}}{{P(Y = {y_k})}} = \frac{{{p_{ik}}}}{{{q_k}}};\,\,\,i = \overline {1,n} \)
  • \(P(Y = {y_j}/X = {x_k}) = \frac{{P\left[ {(X = {x_k})(Y = {y_j})} \right]}}{{P(X = {x_k})}} = \frac{{{p_{kj}}}}{{{p_k}}};\,\,\,j = \overline {1,m} \)

Từ đó ta có thể tìm được phân phối xác suất có điều kiện của X (hoặc của Y)

2. Phân phối xác suất có điều kiện

Ta ký hiệu:

\(P(X= x_i/Y= y_k) = P(X= x_i/ y_k); \,\,\,\,P(Y= y_j/X= x_k) = P(Y= y_j/ x_k)\)

Phân phối xác suất có điều kiện của X (điều kiện là Y = yk)

X x1 x2 .... xn
P(X/Y = yk) P(X=x1/yk) P(X=x2/yk) .... P(X=xn/yk)

Kỳ vọng toán có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X với điều kiện Y = yk [ký hiệu là E(X/yk)] được định nghĩa như sau:

\(E(X/{y_k}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}P(X = {x_i}/{y_k})} \)

Tương tự, ta có kỳ vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện X = xk)

\(E(Y/{x_k}) = \sum\limits_{j = 1}^m {{y_i}P(X = {y_i}/{x_k})} \)

Thí dụ: Cho biết bảng phân phôi xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y), trong đó X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các công ty tư nhân kinh doanh cùng một mặt hàng như sau (đơn vị tính của X và Y đều là triệu đồng/tháng)

X 100 150 200 PY
Y
0 0,1 0,05 0,05 0,2
1 0,05 0,2 0,15 0,4
2 0 0,1 0,3 0,4
Px 0,15 0,35 0,5 1

Từ bảng trên ta có:

\(P(X = 100/Y = 0) = \frac{{P\left[ {(X = 100)(Y = 0)} \right]}}{{P(Y = 0)}} = \frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5\)

Tính tương tự ta được:

\(P(X = 150/Y = 0) = \frac{{0,05}}{{0,2}} = 0,25;\,\,\,P(X = 200/Y = 0) = 0,25\)

Vậy phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y = 0) như sau:

X 100 150 200
P(X/Y=0) 0,5 0,25 0,25

Từ bảng phân phôi xác suất có điều kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng toán có điều kiện:

E(X/Y=0) = 100 x 0,5 + 150 x 0,25 + 200 x 0,25 = 137,5

Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những công ty không quảng cáo (Y = 0) là 137,5 triệu đồng/tháng.

Tính tương tự ta được

Phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau:

X 100 150 200
P(X/Y=2) 0 0,25 0,25

E(X/Y= 2) = 150 x 0,25 + 200 x 0,75 = 187,5

Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những công ty có chi phí quảng cáo ở mức 2 triệu đ/tháng là 187,5 triệu đồng/tháng.

  • Hiệp phương sai của (X, Y):

\({\mathop{\rm cov}} (X,Y) = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{x_i}{y_j}{p_{{\rm{ij}}}} - E(X).E(Y)} } \)

\(= {\rm{ }}100{\rm{ }}x{\rm{ }}0{\rm{ }}x{\rm{ }}0,1{\rm{ }} + {\rm{ }}150{\rm{ }}x{\rm{ }}0{\rm{ }}x{\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}200\,x{\rm{ }}2x{\rm{ }}0,3{\rm{ }} - 167,5\,x{\rm{ }}1,2{\rm{ }} = {\rm{ }}215 - 201{\rm{ }} = {\rm{ }}14\)

  • Hệ số tương quan giữa 2 biến X và Y:

\({\sigma _{XY}} = \frac{{{\mathop{\rm cov}} (X,Y)}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}} = \frac{{14}}{{36,3146\,x\,0,7483}} = 0,5153\)

3. Hàm mật độ có điều kiện

Nếu X, Y không độc lập, hay \(f\left( {x,{\rm{ }}y} \right) \ne {f_1}\left( x \right).{f_2}\left( y \right)\)

Ta gọi: \(f\left( {x,{\rm{ }}y} \right) = \frac{{f(x,y)}}{{{f_2}(y)}}\)

là hàm mật độ có điều kiện của X (điều kiện là Y= y)

Tương tự

\(f\left( {y/x} \right) = \frac{{f(x,y)}}{{{f_1}(y)}}\)

là hàm mật độ có điều kiện của Y (điều kiện là X= x)

Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

\(E(Y/X = x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {yf(y/x)dy} \)

\(E(X/Y = y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x/y)dx} \)

4. Hàm hồi qui

Hàm hồi qui của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện là X = x)

\(f(x) = E(Y/X = x)\)

f(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như thế nào khi X nhận các giá trị khác nhau.

Tương tự, hàm hồi qui của X đối với Y là kỳ vọng toán có điều kiện của X (điều kiện là Y= y)

\(f(y) = E(X/Y = y)\)

f(y) cho biết giá trị trung bình của X sẽ thay đổi như thế nào khi Y nhận các giá trị khác nhau.