Vì sao phương pháp thay thế dần lại cho một con số có tính ngẫu nhiên?

Một hàm bậc hai y = ax(1 - x); 0 < x <1, a là một tham số. Với x = 1/2 ta nhận được cực trị của đường parabon. Với mỗi giá trị 0 < x < 1, ta sẽ nhận được một điểm y duy nhất trên đường parabon. Với một số x0 0 < x0 < 1 ta nhận được số y0. Lại đem thay y0 vào hàm bậc hai ta được giá trị mới y1. Lại đem y1 thay vào hàm, ta lại được y₂, lại tiếp tục đưa y₂ vào thay... ta sẽ thu được dãy số y₀, y₁, y₂....quá trình này trong toán học gọi là phương pháp thay dần.

Xuất phát từ hàm bậc hai, ta chọn số x0 bất kì (0 < x0 < 1) làm giá trị thay thế ban đầu, với các tham số a khác nhau, ta sẽ nhận được các kết quả đáng chú ý.

Khi chọn a = 2 và x₀ = 0,2 tiến hành việc thay thế dần, ta sẽ nhận được dãy số yi là 0,18; 0,2952; 0,4161140; 0,485926; 0,499604; 0,50000. Cuối cùng dãy số sẽ dừng lại ở con số 0,50000.

Khi a = 3,2 và chọn giá trị ban đầu là, x₀ = 0,2 ta sẽ nhận được dãy số: 0,512; 0,799539; 0,512840; 0,7994690; 0,530190; 0,7994580; 0,5130400; 0,7994560; 0,51304403; 0,7994560; 0,5130440; 0,7994560; 0,5130440..., dãy trị số thay thế dần cuối cùng sẽ dừng lại ở hai số: 0,7884560 và 0,5130440 chúng sẽ thay phiên nhau xuất hiện.

Với a = 3,5 và giá trị ban đầu x₀ = 0,2 tiến hành thay thế dần đến 30 lần cuối cùng xuất hiện các số 0,3828200; 0,8269410; 0,500840; 0,8749970, từ đó 4 số này thay nhau xuất hiện. Khi cho a tăng dần thì cuối cùng sẽ xuất hiện 8 số thay nhau xuất hiện khi tiến hành cuộc thay dần tiếp tục,...rồi lại xuất hiện 16 số thay nhau xuất hiện...

Nhưng khi cho a tăng đến a > 3,57 ví dụ a = 3,58 thì dãy số do kết quả các thay thế dần là: 0,572800; 0,8760270; 0,388020; 0,8507340; 0,4546100; 0,8876240; 0,3570966; 0,8218190; 0,5240630; 0,892927; 0,3422780; 0,8059430... và hiện tượng quy luật mất hẳn, người ta không nhận được bất kì giá trị nào được lặp lại, không hề có tính quy luật, trái lại các số xuất hiện đều có tính ngẫu nhiên. Các bạn thử tiếp tục thay thế sẽ thấy.

Xuất phát từ một hàm bậc hai, chọn các tham số a và tiến hành phép thay thế dần ta sẽ nhận được dãy số không lường trước được, làm mọi người khó tin nhưng đó là sự thực có thể kiểm nghiệm bằng máy tính. Đó là một đặc tính cố hữu của các hệ phi tuyến, được gọi là tính ngẫu nhiên nội tại. Tính ngẫu nhiên nội tại là đặc trưng của một ngành khoa học mới: lí luận về trạng thái hỗn độn.

Tính xác định có bao hàm tính ngẫu nhiên. Ở đây xuất hiện quy luật thống nhất giữa các mặt đối lập. Do phép thay thế dần có bao hàm các sự kiện ngoài sự tiên liệu. Sự xuất hiện các số ngẫu nhiên giúp người ta nhận thức sâu hơn về tự nhiên.