Hãy lập biểu thức tính tổng quãng đường con Hải Âu bay được khi gặp tàu lần thứ n trong bài toán:

Gọi s₁ là quãng đường con Hải Âu đi được cho đến khi gặp tàu B lần thứ nhất.

s₁' là quãng đường tàu A đi được trong quá trình con Hải Âu bay và gặp tàu B lần thứ nhất

Δs₁ là khoảng con Hải Âu và đoàn tàu A lần thứ nhất

t₁ là thời gian con Hải Âu gặp đoàn tàu B lần thứ nhất

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{t_1} = \frac{L}{{u + v}} \Rightarrow {s_1} = u{t_1}}\\ {{s_1}^\prime = v{t_1} \Rightarrow {\rm{\Delta }}{s_1} = {s_1} - {s_1} = {u_1} - v{t_1} = \left( {u - v} \right){t_1}} \end{array}\)

Tương tự với lần 2 ta được :

s₂ là quãng đường con Hải Âu đi được cho đến khi gặp tàu B lần thứ hai

s₂' là quãng đường tàu A đi được trong quá trình con Hải Âu bay và gặp tàu B lần thứ hai

Δs₂ là khoảng con Hải Âu và đoàn tàu A lần thứ hai

t₂ là thời gian con Hải Âu gặp đoàn tàu B lần thứ hai

Nên:

\( {t_2} = \frac{{{s_1}^\prime }}{{u + v}} = \frac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}} \Rightarrow \frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{{u - v}}{{u + v}}\)

Ta suy ra được công thức tổng quát về thời gian các lần gặp theo n lần gặp:

\(\begin{array}{l} \frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{{{t_3}}}{{{t_2}}} = \underbrace {...}_{n - 1} = \frac{{{t_n}}}{{{t_{n - 1}}}} = \frac{{u - v}}{{u + v}}\\ \to {t_3} = \frac{{\left( {u - v} \right){t_2}}}{{u + v}},{t_2} = \frac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}}\\ \to {t_3} = {\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^2}{t_1} \to {t_4} = {\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^3}{t_1} \to \underbrace {...}_{n - 1} \to {t_n} = {\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^{n - 1}}{t_1} \end{array}\)

Vậy Quãng đường đi được của Hải Âu với đoàn tàu ở lần gặp nhau thứ n là:

\(\begin{array}{l} S = {s_1} + {s_2} + {s_3} + ... + {s_n} = u{t_1} + u{t_2} + u{t_3} + .. + u{t_n}\\ \Leftrightarrow S = u\left[ {{t_1} + \frac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}} + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2}{t_1} + ... + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}{t_1}} \right]\\ \Leftrightarrow S = u{t_1}\left[ {1 + \frac{{\left( {u - v} \right)}}{{u + v}} + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}} \right]\\ {t_1} = \frac{L}{{v + u}}\\ \to S = \frac{{uL}}{{v + u}}\left[ {1 + \frac{{\left( {u - v} \right)}}{{u + v}} + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}} \right] \end{array}\)

Đáp án B