YOMEDIA

Bài 2: Vi phân - Khái niệm, định lý, qui tắc, đạo hàm


Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 2: Vi phân sau đây để tìm hiểu về khái niệm vi phân và tính gần đúng, qui tắc tính vi phân, tính bất biến của vi phân bậc I, vài định lý cơ bản, đạo hàm và vi phân cấp cao.

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới
 

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm vi phân và tính gần đúng:

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và y = f(x). Giả sử, ta có: 

\(\Delta y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}\varepsilon \left( x \right).\Delta \left( x \right)\)

với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\) và A không phụ thuộc \(\Delta x\) thì ta nói \(A.\Delta x\) là vi phân của f tại x. Khi đó ta ký hiệu vi phân của hàm f tại x là \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}df\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x\). Nếu f có vi phân tại x, ta nói hàm số f khả vi tại x.

Định lý: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và \(y = f(x)\). Ta có: f khả vi tại x ⇔ f có đạo hàm tại x.

Chứng minh:

\(( \Leftarrow )\) Giả sử f có đạo hàm tại x

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} - f'(x)} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = f'(x).\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)\)

với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0 \Rightarrow f\) khả vi tại x.

(⇒) Đảo lại, nếu f khả vi tại x thì ta có:

\(\Delta y = A.\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)\) với A độc lập với \(\Delta x\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\)

\(\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \varepsilon (x)\) với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\)

suy ra \(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A\). Do đó, f có đạo hàm tại x.

Nhận xét:

  • Từ định lý trên, ta có \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x\) là vi phân của hàm f tại x.

Khi y = x thì \(dy = dx = (x)'.\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x\), nên ta viết \(dy = f'(x)dx\,\,hay\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = f'(x)\)

  • dy là giá trị gần đúng của \(\Delta y\) khi  tức là \(\Delta x \to 0\) tức là \(dy \approx \Delta y\) (khi \(\Delta x \to 0\))

Ví dụ: Cho \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {{x^2}{\rm{ }} - 5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {2x{\rm{ }} - 5} \right)dx\)

\(\Rightarrow y' = 3(2x - 5) = \frac{{dy}}{{dx}}\)

Tính gần đúng: Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở I chứa x sao cho \(x + \Delta x \in I\) và khả vi tại X. Ta có: \(f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x.f'(x)\) khi \(\Delta x\) khá nhỏ

Ví dụ 1: Cho ln4 , tính gần đúng: \(ln4,001; ln4,002; ln4,005\).

Đặt \(f(x) = lnx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}f'{\rm{ }}\left( x \right).\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}o\left( {\Delta x} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}lnx{\rm{ }} \approx {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x{\rm{ }}\left( {\Delta x{\rm{ }} \to 0} \right)\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}lnx{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( x \right).\Delta x\) (khi \(\Delta x\) khá nhỏ)

\(ln(4,001) = ln(4 + 0,001)\)

\(\approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,001{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00025\)

\(ln\left( {4,002} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ln\left( {4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,002} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( 4 \right).0,002\)

\(= {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}{\rm{ }}.0,002{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,0005\)

\(ln4,005{\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,005{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00125{\rm{ }}\)

Ví dụ 2: Tính gần đúng \(sin 31°, sin 29°\)

\(sin{\rm{ }}{31^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\)

\(sin{\rm{ 2}}{{\rm{9}}^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) - \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\)

Ví dụ 3: Tính gần đúng \(\sqrt[3]{{126}}\)

Xét \(f(x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\)

Với x = 125 và h = 1, sử dụng công thức tính gần đúng \(f(x + h) \approx f(x) + h.f'(x)\)ta có:

\(\sqrt[3]{{126}} = \sqrt[3]{{125 + 1}} \approx \sqrt[3]{{125}} + 1.\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{125}^2}}}}} = 5 + \frac{1}{{75}}\)

2. Qui tắc tính vi phân

Cho f, g là các hàm khả vi tại x

\(1)\,\,d(f \pm g)(x) = df(x) \pm dg(x)\)

\(2)\,\,d(kf)(x) = k.df(x)\)

\(3)\,\,d(f.g)(x) = df(x).g(x) + f(x).dg(x)\)

\(4)\,\,d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}\,\,\,(g(x) \ne 0)\)

Chứng minh:

Do tính chất đạo hàm và nếu y = f(x) khả vi tại x thì \(dy=df(x)=f'(x)dx\)

Ví dụ: \(h = \frac{f}{g}\) với f, g khả vi tại x ta có:

\(d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = dh(x) = h'(x)dx = \left( {\frac{{f'g - g'f}}{{{g^2}}}} \right)(x)dx = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}\)

3. Tính bất biến của vi phân bậc I

Cho \(z = g(y)\) khả vi tại y, với y là biến độc lập.

Ta có: \(dz = g'(y)dy\)

Cho \(z = g(y)\) với y là hàm theo x và \(y = f(x)\) khả vi.

Ta có: \(z'(x) = z'({\rm{x}}) = \frac{{dz}}{{dx}}[g[f(x)]]' = g'[f(x)].f'(x)\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}dz{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f(x} \right).f'\left( x \right)dx{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f\left( x \right)} \right].dy{\rm{ }} = {\rm{ }}g'(y).dy\)

Như vậy, biểu thức \(dz = g'(y).dy\) không thay đổi dù y là biến độc lập hay là hàm theo một biến khác.

4. Vài định lý cơ bản

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0.

Nếu \(\exists h > 0\) sao cho \(f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I\) thì ta nói f đạt cực đại địa phương tại x0.

Tương tự, f đạt cực tiểu địa phương tại x0 nếu \(\exists h > 0\) sao cho \(f(x) \ge f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I\)

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Bổ đề Fermat: Cho f xác định trên khoảng mở (a,b). Nếu f đạt cực đại địa phương tại \({x_0} \in (a;b)\) và f'(x0) tồn tại thì f(x0) = 0.

Chứng minh: Vì f đạt cực đại tại x0 nên

\(\exists h > 0:f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \subset (a,b)\)

Xét \(x \in (a,b)\)\(x_0- h < x < x_0\), ta có:

\(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\)

Do f'(x0) tồn tại nên \(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = f'(x_0^ + )\)

\(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\)    (1)

Xét \(x_0ta có \(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \le 0 \)

\(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow f'({x_0}) = 0\)

Ghi chú: Định lý được phát biểu tương tự khi x0 là cực tiểu địa phương.

Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

Nếu f khả vi trên (a,b) liên tục [a,b] và \(f(a) = f(b) \) thì \(C(c,f(c))\) trên cung AB với \(A(a,f(a)), B(b,f(b)) \) sao cho vectơ chỉ phương của tiếp tuyến tại C cùng phương với vectơ Ox (hoạc cùng phương với vectơ AB).

Định Iý Lagrange: (Định lý giá trị trung bình)

Nếu f liên tục trên [a,b], khả vi trên \((a,b) (a \ne b)\) thì

\(\exists c \in (a,b):f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\,\,(1)\)

\((1) \Leftrightarrow f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\)

Chứng minh:

Nhận xét: \((1) \Leftrightarrow f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0\)

Để áp dụng định lý Rolle ta cần tìm hàm g sao cho

\(\left\{ \begin{array}{l} g'(c) = f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\\ g(a) = g(b) \end{array} \right. \)

Đặt \(g(x) = f(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}(x - a)\)

Ta có: g liên tục trên [a,b] khả vi trên (a,b) và \(g(a) = g(b)\)

Áp dụng định lý Rolle:

\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):g'(c) = 0\)

Mà \(g'(c) = f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\)

\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0 \Rightarrow\)đpcm

Hệ quả: f liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và \(f'\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}f(x)\) là hàm hàng trên (a,b), nghĩa là f(x) = k (hằng), \(\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b} \right)\)

Chứng minh:

Lấy x1, x2 bất kỳ \(\in (a, b)\). Giả sử x1 < x2.

Khi đó f liên tục trên \([{x_1},{x_2}]{\rm{ }} \subset {\rm{ }}\left( {a,b} \right)\) và khả vi trên (x1,x2)

Áp dụng Lagrange ta có:

\(f({x_2}) - f({x_1}) = f'(c)({x_2} - {x_1})\)với \(c \in ({x_1} , {x_2})\)

mà \(f'(c)=0\) (giả thiết)

\(\Rightarrow f({x_2}) - f({x_1}) = 0,\forall {x_1}{x_2} \in (a,b)\)

\( \Rightarrow f({x_2}) = f({x_1}),\forall {x_1}{x_2} \in (a,b)\)

 nghĩa là f là một hàm hàng trên (a, b).

5. Đạo hàm và vi phân cấp cao

5.1 Đạo hàm cấp cao

Giả sử \(y = f(x)\) có đạo hàm \(y' = f'(x)\). Nếu hàm \(y' = f'(x)\) có đạo hàm thì \(y''=(y')'=(f'(x))=f''(x)\) được gọi là đạo hàm cấp 2 của f tại x.

Giả sử đạo hàm cấp n - 1 của f tồn tại và có đạo hàm tại x. Khi đó, đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 được gọi là đạo hàm cấp n: \({y^{(n)}} = {\rm{ }}({y^{(n - 1)}})'{\rm{ }} = ({f^{(n - 1)}}\left( x \right))'{\rm{ }} = {\rm{ }}{f^{(n)}}\left( x \right)\)

Ví dụ\(y = (a - x)^n \)

Thì \({{\rm{y}}^{{\rm{(n)}}}}{\rm{ = ( - l}}{{\rm{)}}^{\rm{n}}}{\rm{n! }}\)

\({y^{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}}{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Qui tắc tính đạo hàm bậc cao

Giả sử f và g là các hàm số có đạo hàm đến cấp n tại n.

Khi đó:

\(i)\,\,{\left( {f \pm g} \right)^{(n)}}(x) = {f^{(n)}}(x) \pm {g^{(n)}}(x)\)

\(ii)\,\,{\left( {cf} \right)^{(n)}}(x) = c.{f^{(n)}}(x), \in R\)

\(iii)\,\,{\left( {fg} \right)^{(n)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{f^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)}\)

Qui ước\({f^{(0)}}(x) = f(x);\,0! = 1;\,\,C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)

Chứng minh:

i) và ii) là hiển nhiên

iii) Chứng minh bàng qui nạp

Ví dụ:

i) \(f(x) = {e^{ax}},f'(x) = a{e^{ax}},f''(x) = {a^2}{e^{ax}},f'''(x) = {a^3}{e^{ax}},...,{f^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax}}\)

ii) \(y = {(ax + b)^\alpha }\)

\(y' = a\alpha {(ax + b)^{\alpha - 1}}\)

\(y'' = {a^2}\alpha (\alpha - 1){(ax + b)^{\alpha - 2}}\)

\(y''' = {a^3}\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2){(ax + b)^{\alpha - 3}},...\)

5.2 Vi phân cấp cao

Giả sử y = f(x) là hàm số xác định và khả vi tại mọi x thuộc khoảng mở I. Khi đó vi phân cấp một \(dy= f'(x)dx\) là một hàm theo x.

Nếu dy là hàm khả vi tại x thì biểu thức 

\({d^2}y{\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {dy} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}(f'\left( x \right){\rm{ }}dx)'dx{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)d{x^2} = f''(x)d{x^2}\)

 được gọi là vi phân cấp 2 của \(y = f(x)\).

Ghi chú:

i) Vi phân của vi phân cấp 1 là vi phân cấp 2.

ii) \(d^2y = d(dy)\) và \((dx)^2 = dx^2\) là qui ước (ký hiệu)

Giả sử f có vi phân cấp n - 1 và \(d^{n-1}f\) có vi phân, vi phân của vi phân cấp n - 1 được gọi là vi phân cấp n của \(f{d^n}y = d({d^{n - 1}}y) = \left[ {{f^{(n - 1)}}(x)d{x^{n - 1}}} \right]'dx = {f^{(n)}}(x)d{x^n}\) (x là biến độc lập)

\(\frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}} = {f^{(n)}}(x)\,\,(*)\)

Ghi chú: Thông thường, khi n > 1 thì công thức (*) không còn đúng nếu x không phải là biến độc lập (x là một hàm theo t).

Ví dụ: Cho \(y = f(x)\) là hàm khả vi và \(x = \varphi (t)\) là hàm khả vi. Ta có: \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right)dx{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( {\varphi \left( t \right)} \right).\varphi '\left( t \right)dt\)

\(\Rightarrow {d^2}y = \left[ {f'(\varphi (t)).\varphi '(t)} \right]'d{t^2}\)

\(= \left[ {f''(\varphi (t)).\varphi '(t).\varphi '(t) + \varphi ''(t)f'(\varphi (t))} \right]d{t^2}\)

\(= f''(\varphi (t)).{\left[ {\varphi '(t)dt} \right]^2} + f'(\varphi (t)).\varphi ''(t)d{t^2}\)

\(= f''(x)d{x^2} + f'(x).{d^2}x\)

\(\Rightarrow y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{f'(x){d^2}x}}{{d{x^2}}} + f''(x)\)

Nhân xét: Nếu x là biến độc lập thì \(dx = \Delta x\) (hàng số).

Khi đó \({d^2}x = (\Delta x)'dx = 0dx = 0\)

Ví dụ: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^5}{\rm{ }} - {\rm{ }}8{x^2}} \right)\) thì \(dy = (5x^4 - 16x)dx\)

Và \({d^2}y = (20{x^3} - 16)d{x^2};\,y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 20{x^3} - 16\)

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)