Bài 2: Hàm nhiều biến - Cực trị hàm nhiều biến

Cho hàm số \(f(x) = f(x_1,x_2,...,x_n)\) xác định trên \(D \subset {R^n}\) và \(a = a(x_1,x_2,...,x_n) \in D\). Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại a nếu tồn tại tập \(S = \left\{ {x \in D/d(x,a) < \alpha } \right\}\) sao cho \(f(a) \ge f(x)\) (hoặc \(f(a) \le f(x)),\,\forall x \in S \cap D.\)

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Định lý (điều kiện cần): Cho hàm số \( f(x_1,x_2,...,x_n)\) xác định trên tập mở D chứa x₀. Nếu hàm số \( f(x_1,x_2,...,x_n)\) có cực trị địa phương tại \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right)\) và giả sử các đạo hàm riêng cấp một \(\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}({x_0})\) tồn tại \(\forall i = \overline {1,n} \) thì:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}({x_0}) = 0,\forall i = \overline {1,n}\)

Những điểm \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right)\) thỏa điều kiện \(\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}({x_0}) = 0,\forall i = \overline {1,n}\) được gọi là những điểm dừng. Những điểm dừng là những điểm có thể đạt cực trị.

Ghi chú: Định lý trên chỉ là điều kiện cần. Có khi các đạo hàm riêng tại \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right)\) của f không tồn tại nhưng f vẫn có thể đạt cực trị tại x₀.

Ví dụ: \(f(x,y) = {x^3} + {y^3}\)có \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0) = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) = 0\) nhưng f không đạt cực trị tại (0,0).

Ví dụ: \(f(x,y) = \sqrt {{x^2} + {y^2}}\). Ta có \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0), \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) \) không tồn tại nhưng f đạt cực tiểu tại (0,0).

Hàm \(A({h_1},{h_2},...,{h_n}) = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_{ij}}{h_i}{h_j}} (*)\) của các biến \({h_1},{h_2},...,{h_n}\)được gọi là dạng toàn phương, các số a_ij được gọi là hệ số của dạng toàn phương.

Dạng toàn phương (*) được gọi là xác định dương (hoặc xác định âm) nếu \(\forall {h_1},{h_2},...,{h_n}\) thỏa \(\sum\limits_{i,j = 1}^n {h_i^2 > 0}\) có \(\sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_{ij}}{h_i}{h_j}}\) giá trị dương (hoặc âm).

Dạng toàn phương xác định dương hay xác định âm gọi chung là dạng xác định dấu.

Xét dạng toàn phương \(A\left( {{h_1},{h_2},...,{h_n}} \right) = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_{ij}}{h_i}} {h_j}\,\,(*)\)

Giả sử \({a_{ij}} = {a_{ij}},\forall i,j = \overline {1,n}\). Khi đó ta có: 

i) (*) là dạng toàn phương xác định dương \(\Leftrightarrow {a_{11}} > 0\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| > 0,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| > 0,...,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{2n}}}\\ \begin{array}{l} ....\\ {a_{n1}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{n2}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{nm}} \end{array} \end{array}} \right| > 0 \)

ii) (*) là dạng toàn phương xác định âm \(\Leftrightarrow {a_{11}} < 0\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| > 0,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| < 0,...,{( - 1)^n}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{2n}}}\\ \begin{array}{l} ....\\ {a_{n1}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{n2}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{nm}} \end{array} \end{array}} \right| > 0 \)

Giả sử \(\forall i,j = \overline {1,n} ;\,\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}\) tồn tại và liên tục trong lân cận của điểm dừng \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right)\)

Nếu \({d^2}f({x_0}) = \sum\limits_{i,j = 1}^n {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}} d{x_i}d{x_j}\) là dạng toàn phương xác định dấu của các biến \(dx_1, dx_2, dx_n\) thì f đạt cực trị địa phương tại x₀. Khi đó, nếu \(d^2f(x_0) < 0\) thì f đạt cực đại tại x₀ và nếu \(d^2f(x_0) > 0\) thì f đạt cực tiểu tại x₀.

Giả sử \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}},\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}},\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) tồn tai và liên tục tai \(M_0(x_0, y_0)\). Giả sử \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}({x_0},{y_0}) = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}({x_0},{y_0}) = 0\) (M₀ là điểm dừng)

Đặt \({a_{11}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}({x_0},{y_0}),{a_{12}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}({x_0},{y_0}),{a_{21}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}({x_0},{y_0})\)và \(\Delta ({M_0}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {({a_{12}})^2}\)

Ta có: 

i) Nếu \(\Delta ({M_0}) < 0\) thì f không đạt cực trị tại \((x_0,y_0)\)

ii) \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}} > 0\\ \Delta ({M_0}) > 0 \end{array} \right.\) thì f đạt cực tiểu tại \((x_0,y_0)\)

iii) \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}} < 0\\ \Delta ({M_0}) > 0 \end{array} \right.\) thì f đạt cực đại tại \((x_0,y_0)\)

Nhận xét:

• Khi \(\Delta ({M_0}) > 0\) thì a₁₁ và a₂₂ cùng dấu.
• Khi \(\Delta ({M_0}) = 0\) thì không có kết luận tổng quát.

Ví dụ:

\(f(x, y) = x^3 + y^3\) có \(\Delta \left( {0,0} \right){\rm{ }} =0\) và không đạt cực trị tại (0,0)

\(f=(x,y)=x^4+y^4\) có \(\Delta \left( {0,0} \right){\rm{ }} =0\) và đạt cực trị tại (0,0)

 i) \(H_2<0,H_3<0,H_4<0\)⇒ f đạt cực tiểu 

 

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2 + 2\lambda x;\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = 1 + 8\lambda x\\ \\ \frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 3 + 4\lambda x;\frac{{\partial F}}{{\partial \lambda }} = g = {x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} - 35\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {x^2}}} = 2\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {y^2}}} = 8\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {z^2}}} = 4\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {\lambda ^2}}} = 0\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial x\partial z}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial y\partial z}} = 0;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial x}} = \frac{{\partial g}}{{\partial x}} = 2x\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial y}} = \frac{{\partial g}}{{\partial y}} = 8y;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial z}} = \frac{{\partial g}}{{\partial z}} = 4z \end{array}\)

 

Điều kiện cần để F đạt cực trị tại \((x,y,z,\lambda )\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial F}}{{\partial \lambda }} = g = {x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} - 35 = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2 + 2\lambda x = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial y}} = 1 + 8\lambda y = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 3 + 4\lambda z = 0 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 1}}{\lambda } = 8y\\ y = \frac{{ - 1}}{{8\lambda }}\\ z = \frac{{ - 3}}{{4\lambda }} = 6y\\ 64{y^2} + 4{y^2} + 2.36{y^2} - 35 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = \frac{1}{2}\\ z = 3\\ \lambda = \frac{{ - 1}}{4} \end{array} \right.\,hay\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 4\\ y = - \frac{1}{2}\\ z = - 3\\ \lambda = \frac{1}{4} \end{array} \right. \)

i) Xét tại \((x,y,z,\lambda ) = \left( {4,\frac{1}{2},3, - \frac{1}{4}} \right)\)

\(\frac{{\partial g}}{{\partial x}}(4;\frac{1}{2};3) = 8;\,\,\frac{{\partial g}}{{\partial y}}(4;\frac{1}{2};3) = 4;\,\,\frac{{\partial g}}{{\partial z}}(4;\frac{1}{2};3) = 12\)

\(\begin{array}{l} {a_{11}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {x^2}}}(4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}) = \frac{{ - 1}}{2};\,\,\\ \\ {a_{22}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {y^2}}}(4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}) = - 2;\,\\ \\ \,{a_{33}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {z^2}}}(4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}) = - 1 \end{array} \)

\({a_{12}} = {a_{21}} = {a_{31}} = {a_{13}} = {a_{23}} = {a_{32}} = 0\)

Ta có: \({H_b} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&0&8\\ 0&{ - 2}&0&4\\ 0&0&{ - 1}&{12}\\ 8&4&{12}&0 \end{array}} \right) \)

\({H_1} = - 64;{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&8\\ 0&{ - 2}&4\\ 8&4&0 \end{array}} \right| > 0;\,{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&0&8\\ 0&{ - 2}&0&4\\ 0&0&{ - 1}&{12}\\ 8&4&{12}&0 \end{array}} \right| < 0 \)

\(\Rightarrow {( - 1)^k}{H_k} > 0,\forall k = \overline {2,3} \Rightarrow f\)đạt cực đại thỏa điều kiện \(x^2+4y^2+2z^2=35\)tại \(\left( {4;\frac{1}{2};3} \right)\)

ii) Tương tự xét tại \((x,y,z,\lambda ) = \left( { - 4; - \frac{1}{2}; - 3;\frac{1}{4}} \right)\)ta có: \({( - 1)^m}{H_k} = - {H_k} > 0,\forall k = \overline {2,3}\)

⇒ f đạt cực tiểu thỏa điều kiện \({x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} = 35\)tại \(\left( {-4;-\frac{1}{2};-3} \right)\)

Ví dụ:

i) Tìm cực trị của \(u=x+y+z\) với \(xyz = 125\)

ii) Tìm cực trị của \(u = x + y\) với điều kiện \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + 2{z^2} = 1\)

Tìm cực trị của \(u = x + y + z + t\) với điều kiện \(16-xyzt=0\)

Giải: Dành cho bạn đọc.