Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực

i) Dãy {u_n} gọi là đơn điệu tăng nếu \({u_n} \le {u_{n + 1}},\forall n \in N \).

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy tăng nghiêm ngặt (nghiêm cách).

ii) Dãy {u_n} gọi là đơn điệu giảm nếu \({u_n} \ge {u_{n + 1}},\forall n \in N\)

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy giảm nghiêm ngặt.

iii) Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.

i) Dãy tăng và bị chận trên thì hội tụ.

ii) Dãy giảm và bị chận dưới thì hội tụ.

Chứng minh: Đặt \(A = \left\{ {{u_n}/n \in N} \right\} \subset R\)

i) {u_n} bị chận trên ⇒ A bị chận trên. Theo tính chất được sắp hoàn chỉnh ta có : sup A tồn tại.

Ta sẽ chứng minh {u_n} → sup A.

Với \(\varepsilon > 0\) cho trước, theo tính chất của sup thì

\(\exists N:\sup A - \varepsilon < {u_N} \le \sup A\)

Vì {u_n} tăng nên  \(sup A - \varepsilon < {u_N} \le {u_n},\forall n > N\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sup A - {u_n} < \varepsilon ,\forall n > N\\ \Rightarrow \left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| < \varepsilon ,\forall n > N \end{array}\)

(vì \(\left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| = \left| {\sup A - {u_n}} \right| = \sup A - {u_n}\))

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \sup A\)

Tương tự {u_n} giảm và bị chận dưới thì hội tụ về infA.

Ví dụ 1: Xét dãy số {u_n} với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\)

Chứng minh: {u_n} hội tụ.

Giải: Ta có \({u_{n + 1}} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right){u_n} \le {u_n},\forall n \in {N^*}\)

⇒ {u_n} giảm và \({u_n} > 0,\forall n \in {N^*}\)

Vậy {u_n} giảm và bị chận dưới bởi 0 nên {u_n} hội tụ.

Ví dụ 2: Cho dãy số {u_n}  với = \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\)

Chứng minh {u_n} hội tụ và tìm giới hạn của {u_n}.

Giải

Ta có: \({u_n} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}} < 1,\forall n\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} > {u_n},\forall n\)

⇒ {u_n} tăng và bị chặn trên bởi 1 ⇒ {u_n}  hội tụ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 1\)

Dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ.

Ví dụ: {u_n} với {u_n} =(-1)ⁿ là một dãy phân kỳ.

i) Dãy {u_n} gọi là phân kỳ ra \(+\infty\) nếu tính chất sau thỏa:

“\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} > A\)”

ii) Dãy {u_n} gọi là phân kỳ ra \(-\infty\)  nếu tính chất sau thỏa:

“\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} < -A\)”

• Nếu dãy {u_n} phân kỳ ra \(+\infty\), ta viết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty\)

• Nếu dãy {u_n} phân kỳ ra \(-\infty\), ta viết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty\)

Nhận xét: Định nghĩa trên giống định nghĩa sự hội tụ về a của dãy, trong đó thay \(\varepsilon > 0\) bằng A > 0 và \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon\) bằng u_n > A (hoặc u_n < -A).

Giả sử {u_n} tăng và {v_n} giảm thỏa:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_n} \le {v_n},\forall n \in N\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 0\,(*) \end{array} \right. \)

thì {u_n} và {v_n} hội tụ về cùng một giới hạn.

Chứng minh:

Ta có \({u_n} \le {v_n} \le {v_1},\forall n\)

⇒ {u_n} bị chận trên bởi v₁ (và u_n tăng)

⇒ {u_n} hội tụ về x₁.

\({v_n} \ge {u_n} \ge {u_1},\forall n \)

⇒ {v_n} giảm và bị chận dưới bởi u₁

⇒ {v_n} hội tụ về x₂.

\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } ({u_n} - {v_n}) = 0\,\,do\,\,(*)\)

\( \Rightarrow {x_1} = {x_2} \)