Bài 1: Phép thử và các loại biến cố

Việc thực hiện những điều kiện nhất định để quan sát, nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó được gọi là phép thử. Phép thử có thể chỉ là công việc rất đơn giản như tung một đồng xu, tung một con súc sắc hay kiểm tra một sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Phép thử cũng có thể là một công việc rất phức tạp như nghiên cứu một công nghệ sản xuất mới hay nghiên cứu một loại giống cây trồng .... Khi thực hiện một phép thử ta thường không thể biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Khi thực hiện một phép thử, sẽ có nhiều kết quả có thể xảy ra. Có kết quả đơn giản, và cũng có những kết quả phức hợp. Chẳng hạn, khi quay xổ số, nếu ta chỉ quan tâm tới hai số cuối, thì mỗi sự xuất hiện một trong các số từ 00, 01,..., 98, 99 là những kết quả đơn giản nhất; trong khi đó, sự xuất hiện các số chẵn, lẻ, đầu 5, đuôi 2,... là những kết quả phức hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành).

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu). Mỗi tập con của không gian các biến cố sơ cấp được gọi là biến cố.

Ta thường dùng:

• \(\omega \) để ký hiệu biến cố sơ cấp;
• \(\Omega \) để ký hiệu không gian các biến cố sơ cấp;
• A, B, C,... A₁, A₂,..., A_n, để ký hiệu biến cố

Để minh họa, ta xét phép thử có số kết quả đơn giản nhất là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được: \({\omega _1},{\omega _2},...\) Theo trên, mỗi \({\omega _k}\) được gọi là một biến cố sơ cấp, còn tập hợp \(\Omega = {\rm{\{ }}{\omega _1},{\omega _2},...{\rm{\} }}\) là không gian các biến cố sơ cấp.

Thí dụ:

1 - Gieo một con súc sắc là thực hiện một phép thử. Không gian các biến cố sơ cấp đối với phép thử này là:

\(\Omega = {\rm{\{ }}{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4},{\omega _5},{\omega _6}{\rm{\} }}\)

trong đó: \(\omega {_i}{\rm{ }}\left( {i = 1,{\rm{ }}2,...,{\rm{ }}6} \right)\)chỉ kết quả súc sắc xuất hiện mặt i chấm.

2. Gieo hai con súc sắc. Không gian các biến cố sơ cấp đối với phép thử này là:

\(\Omega = \{ {\omega _{11}},{\omega _{12}},.....,{\omega _{65}},{\omega _{66}}\} \)

trong đó: \({\omega _{{\rm{ij}}}}(i,j = 1,2,....,6)\) chỉ kết quả súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt i chấm và súc sắc thứ hai xuất hiện mặt j chấm (phép thử này có 36 biến cố sơ cấp).

Trong không gian các biến cố sơ cấp, ta sẽ gọi mỗi tập con \(A \subset \Omega \) là một biến cố.

Như vậy, một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện.

Trong thực tế, ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

• Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn ký hiệu là \(\Omega \).
• Biến cố không thể: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không thể được ký hiệu là \(\emptyset \).
• Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra nhưng cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Người ta quy ước dùng các chữ cái đứng ở đầu bảng (chữ in hoa) để ký hiệu cho các biến cố ngẫu nhiên. Chẳng hạn: A, B, C, D,... A₁, A₂,...., A_n hoặc B₁, B₂,..., B_m.

Thí dụ: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Chọn ngẫu nhiên từ kiện ra 5 sản phẩm để kiểm ưa. Biến cố “có ít nhất 2 sản phẩm loại I ưong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra” là biến cố chắc chắn. Biến cố “có 4 sản phẩm loại n trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra” là biến cố không thể. Biến cố “có 3 sản phẩm loại I trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm ưa” là biến cố ngẫu nhiên.