Bài 1: Các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên và bất đẳng thức Chebyshev

Một dãy các đại lượng ngẫu nhiên X₁, X₂, . . . , X_n,.. . được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến một hằng số C nếu:

\(P\left( {\mathop {\lim \,}\limits_{n \to \infty } {X_n} = C} \right) = 1\)

Một dãy các đại lượng ngẫu nhiên X₁, X₂,. . . , X_n, . . . được gọi là hội tụ theo xác suất đến một hằng số C nếu với mọi \(\varepsilon > 0\)

ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\left| {{X_n} - C} \right| \ge \varepsilon } \right) = 0\)

Nếu hội tụ hầu chắc chắn thì hội tụ theo xác suất.

Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x), đại lượng ngẫu nhiên X_i có hàm phân phối \({F_i}(X),i = 1,2....\)

Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X₁, X₂,...,X_n,... được gọi là hội tụ theo phân phối đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu hàm phân phối F_n(x) của X_n hội tụ đến hàm phân phối F(x) của X tại mọi điểm liên tục của F(x), tức là:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {F_n}(x) = F(x)\)

• Nếu hội tụ theo xác suất thì hội tụ theo phân phối.

Cho Y là đại lượng ngẫu nhiên không âm có E(Y) hữu hạn. Khi đó với mọi a > 0 ta có:

\(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

Chứng minh:

• Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Gọi D là tập hợp các giá trị của Y. Ký hiệu:

\(\begin{array}{l} {C_1} = \left\{ {c \in D:c < a} \right\}\\ {C_2} = \left\{ {c \in D:c \ge a} \right\} \end{array}\)

Khi đó:

\(E(Y) = \sum\limits_{{c_i} \in D} {{c_i}P(Y = {c_i}) = } \sum\limits_{{c_i} \in {C_1}} {{c_i}P(Y = {c_i}) + } \sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {{c_i}P(Y = {c_i})} \)

\(\ge \sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {{c_i}P(Y = {c_i})} \ge a\sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {P(Y = {c_i})} = aP(Y \ge a)\)

Suy ra: \(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

• Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Ta có:

\(E(Y) = \int\limits_0^{ + \infty } {xf(x)dx = \int\limits_0^a {xf(x)dx + \int\limits_a^{ + \infty } {xf(x)dx} } } \)

\(\ge \int\limits_a^{ + \infty } {xf(x)dx \ge a\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = aP(Y \ge a)} } \)

Suy ra: \(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán và phương sai hữu hạn thì với mọi \(\varepsilon \) dương, ta có:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| < \varepsilon } \right) \ge 1 - \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\)

Bất đẳng thức Chebyshev còn được biểu diễn dưới dạng khác như sau:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) \le \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\)

Chứng minh:

Xét đại lượng ngẫu nhiên \(Y=[X-E(X)]^2\)

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) = P(Y \ge {\varepsilon ^2}) \le \frac{{E(Y)}}{{{\varepsilon ^2}}}\,\,\,(E(Y) = V{\rm{ar}}(X))\)

Suy ra: \(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) \le \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\,\,\,\)

Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức Chebyshev ít có ý nghĩa vì nó chỉ cho phép đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán của nó bé hơn hoặc nhỏ hơn một số dương \(\varepsilon \) bé tùy ý cho trước nào đó. Nhưng về mặt lý thuyết, bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa rất lớn, nó được sử dụng để chứng minh các định lý của luật số lớn.