Bài 1: Các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên và bất đẳng thức Chebyshev


Nội dung bài giảng Bài 1: Các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên và bất đẳng thức Chebyshev sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên, bất đẳng thức Chebyshev.

Tóm tắt lý thuyết

1. Các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên

1.1 Hội tụ hầu chắc chắn

Một dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, . . . , Xn,.. . được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến một hằng số C nếu:

\(P\left( {\mathop {\lim \,}\limits_{n \to \infty } {X_n} = C} \right) = 1\)

1.2 Hội tụ theo xác suất

Một dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,. . . , Xn, . . . được gọi là hội tụ theo xác suất đến một hằng số C nếu với mọi \(\varepsilon > 0\)

ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\left| {{X_n} - C} \right| \ge \varepsilon } \right) = 0\)

Nếu hội tụ hầu chắc chắn thì hội tụ theo xác suất.

1.3 Hội tụ theo phân phối

Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x), đại lượng ngẫu nhiên Xi có hàm phân phối \({F_i}(X),i = 1,2....\)

Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,...,Xn,... được gọi là hội tụ theo phân phối đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu hàm phân phối Fn(x) của Xn hội tụ đến hàm phân phối F(x) của X tại mọi điểm liên tục của F(x), tức là:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {F_n}(x) = F(x)\)

  • Nếu hội tụ theo xác suất thì hội tụ theo phân phối.

2. Bất đẳng thức Chebyshev

2.1 Bổ đề

Cho Y là đại lượng ngẫu nhiên không âm có E(Y) hữu hạn. Khi đó với mọi a > 0 ta có:

\(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

Chứng minh:

  • Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Gọi D là tập hợp các giá trị của Y. Ký hiệu:

\(\begin{array}{l} {C_1} = \left\{ {c \in D:c < a} \right\}\\ {C_2} = \left\{ {c \in D:c \ge a} \right\} \end{array}\)

Khi đó:

\(E(Y) = \sum\limits_{{c_i} \in D} {{c_i}P(Y = {c_i}) = } \sum\limits_{{c_i} \in {C_1}} {{c_i}P(Y = {c_i}) + } \sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {{c_i}P(Y = {c_i})} \)

\(\ge \sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {{c_i}P(Y = {c_i})} \ge a\sum\limits_{{c_i} \in {C_2}} {P(Y = {c_i})} = aP(Y \ge a)\)

Suy ra: \(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

  • Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Ta có:

\(E(Y) = \int\limits_0^{ + \infty } {xf(x)dx = \int\limits_0^a {xf(x)dx + \int\limits_a^{ + \infty } {xf(x)dx} } } \)

\(\ge \int\limits_a^{ + \infty } {xf(x)dx \ge a\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = aP(Y \ge a)} } \)

Suy ra: \(P(Y \ge a) \le \frac{{E(Y)}}{a}\)

2.2 Bất đẳng thức Chebyshev

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán và phương sai hữu hạn thì với mọi \(\varepsilon \) dương, ta có:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| < \varepsilon } \right) \ge 1 - \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\)

Bất đẳng thức Chebyshev còn được biểu diễn dưới dạng khác như sau:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) \le \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\)

Chứng minh:

Xét đại lượng ngẫu nhiên \(Y=[X-E(X)]^2\)

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

\(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) = P(Y \ge {\varepsilon ^2}) \le \frac{{E(Y)}}{{{\varepsilon ^2}}}\,\,\,(E(Y) = V{\rm{ar}}(X))\)

Suy ra: \(P\left( {\left| {X - E(X)} \right| \ge \varepsilon } \right) \le \frac{{V{\rm{ar}}(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}\,\,\,\)

Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức Chebyshev ít có ý nghĩa vì nó chỉ cho phép đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán của nó bé hơn hoặc nhỏ hơn một số dương \(\varepsilon \) bé tùy ý cho trước nào đó. Nhưng về mặt lý thuyết, bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa rất lớn, nó được sử dụng để chứng minh các định lý của luật số lớn.

Bài học cùng chương