Bài 3: Phán đoán phức và hình thức logic của phán đoán

Nhờ các liên từ logic, các phán đoán đơn liên kết với nhau tạo thành phán đoán phức hợp về mặt ngôn ngữ, các liên từ logic được biểu đạt qua các từ nối và nhờ đó nối các câu đơn thành câu phức hợp.

Có nhiêu liên từ logic khác nhau, như:

• Phép hội, từ nối thông thường Là "và", "vừa là... vừa là..."
  • Thí dụ: An học giỏi và Bình hát hay.
• Phép tuyển, từ nối thông thường là "hay là", "hoặc là"
  • Thí dụ: Tội tham ô có thể bị phạt tiền hoặc là phạt tù.
• Phép kéo theo, từ nối thống thường là "nếu... thì..."
  • Thí dụ: Nếu trời mưa thì đường bị ướt.

Phán đoán phức là hàm chân lý, theo nghĩa là giá trị chân lý của nó phụ thuộc vào giá trị chân lý của các phán đoán đơn hợp thành. Do tính chất của phán đoán phức phụ thuộc liên từ logic, cho nên có thể nói thực chất liên từ logic là hàm chân lý.

Trong logic toán, người ta coi phán đoán là mệnh đề và các liên từ logic là phép toán mệnh đề (tác tử logic mệnh dề). Từ đó người ta định nghĩa chính xác các tác tử logic mệnh đề. Phương pháp cơ bản là xác định giá trị chân lý bằng báng giá trị chân lý. Cụ thể như sau:

Phép hội còn gọi là tích logic, ký hiệu là A. Tác tử hội tác động vào hai mệnh đề bất kỳ, ký hiệu là p và q, cho ta mệnh đề phức với các giá trị chân lý được xác định qua bảng giá trị chân lý sau đây:

Bảng giá trị chân lý nêu trên chỉ đúng trong phạm vi logic lưỡng trị chân lý. Trong phạm vi đó, mệnh đề phức (hội) chỉ chân thực trong duy nhất một trường hợp, khi cả hai mệnh đề hợp thành đều chân thực. Thí dụ, mệnh đề phức hội: "số 3 là số nhỏ hơn 4 và lớn hơn 2" là chân thực, vì cả hai mệnh đề đơn này hợp thành đều chân thực.

Phép tuyển có hai trường hợp

• Tuyển lỏng (hay tuyển yếu), còn gọi là tổng lôgíc, ký hiệu là \( \vee \), khi các thành phần hợp thành không loại trừ nhau hoàn toàn. Bảng giá trị chân lý được xác định như sau:

Thí dụ: Nhà tư bản bóc lột sức lao động công nhân hoặc bằng giá trị thặng dư tuyệt đối, hoặc bằng giá trị thặng dư tương đối.

• Tuyển chặt (tuyển mạnh), ký hiệu là \(\underline \vee \), khi các thành phần loại trừ nhau hoàn toàn theo luật bài trung. Bảng giá trị chân lý có dạng như sau:

Thí dụ: Đường đi này hoặc là thẳng hoặc là cong

• Phép kéo theo, kí hiệu là →

Bảng giá trị chân lý có dạng như sau:

Phép kéo theo tạo ra phán đoán phức hợp có điều kiện. Điều kiện đó có thể là nguyên nhân gây ra kết quả, trong mối liên hệ nhân quả,

Thí dụ như:

• Nếu trời mưa thì đường bị ướt.

Có thể là điều kiện thực tế, thí dụ như:

• Nếu trời nắng thì chúng ta đi dạo chơi.

Cũng có thể chỉ là điều kiện hình thức, thí dụ như:

• Nếu mực thủy ngân trong nhiệt kế càng dâng lên cao thì trời càng nóng bữc.

Sự phân biệt điều kiện cần và điều kiện đủ được định nghĩa chính xác bằng tác tử logic kéo theo.

Điều kiện đủ: Cứ có p thì chắc chắn có q, suy ra p là điều kiện đủ của q. Thí dụ: Nếu chia hết cho 6 thì đó là số chẵn. Rõ ràng, chia hết cho 6 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để là số chẵn, bởi vì các số 2, 4, 8, 10 là số chẵn, song không chia hết cho 6. Ta biểu diễn bằng công thức sau:

p → q

Điều kiện cần: Nếu không có p thì không thể có q. Thí dụ: Nếu không chia hết cho 6 thì không thể chia hết cho 2. Thực vậy, chia hết cho 2 chỉ là điều kiện cần chứ không đủ để chia hết cho 6, bởi vì các số 4, 8, 10, 14 chia hết cho 2, song không chia hết cho 6. Ta biểu diễn bằng công thức sau đây:

\(\overline p \,\, \to \,\,\overline q\)

Điều kiện cần và đủ: Nếu không có p thì không thể có q và cứ có p thì có q. Thí dụ: Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3. Thật vậy, thí dụ số 36 có tổng các chữ số là 9, 9 chia hết cho 3, đó là thỏa mãn điều kiện đủ. Trường hợp số khác, thí dụ như số 34 có tổng các chữ số là 7, 7 không chia hết cho 3, đó là điều kiện cần. Ta biểu diễn bằng công thức sau đây:

\(p \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel\textstyle\rightarrow\over {\smash{\leftarrow}\vphantom{_{\vbox to.5ex{\vss}}}}$}} q\)

Đọc là: p khi và chỉ khi q hay q khi và chỉ khi p,

Tương tự như quan hệ giữa các phán đoán đơn nói chung, giữa A, E, I, O nói riêng, các phán đoán phức có hai loại quan hệ chính: (1) so sánh được và (2) không so sánh được.

Các phán đoán phức so sánh được với nhau khi có cùng cơ cấu thành phần, nhưng khác nhau về lìcn từ lôgic. Chẳng hạn, các phán đoán phức sau đáy là so sánh được với nhau:

\(\overline {p \wedge q} \) và \(\overline p \, \vee \,\overline q \) và \(\overline {p \vee q} \) và \(\overline p \, \wedge \,\overline q \,,\,p \to q\) và \(\overline p \, \wedge \,q\,,\,p \to q\) và \(\overline {p \wedge \overline q } \)

Quan hệ so sánh được có hai loại chính: (1) tương thích và (2) không tương thích. Quan hệ tương đương là biểu hiện của tương thích, còn mâu thuẫn chẳng hạn, là không tương thích.

Thí dụ về quan hệ tương đương lôgic:

Quy tắc De Morgan

(1) \(\overline {p \wedge q} = \overline p \vee \overline q \)

(2) \(\overline {p \vee q} = \overline p \wedge \overline q \)

Bằng so sánh bảng giá trị chân lý có thể kiểm tra sự đúng đắn của các đẳng thức lôgic nêu trên.

Thí dụ về quan hệ mâu thuẫn Logic: Qua bảng giá trị chân lý nêu trên, ta thấy rõ nêu hai biểu thức \(\overline {p \wedge q}\) và \(\overline p \vee \overline q \) tương đương lôgic với nhau (vì có giá trị chân lý giống nhau) thì hai biểu thức \(\overline {p \vee q}\) và \(\overline p \wedge \overline q \) không tương đương lôgic với nhau, thậm chí mâu thuẫn loại trừ nhau theo luật bài trung: khi biểu thức này chân thực thì biểu thức kia giả dối và ngược lại.

Như đã biết, các phản đoán đơn so sánh được khi chúng có cùng chủ từ và vị từ lôgic, nhưng khác nhau về chất và lượng của phán đoán. Chẳng hạn, các phán đoán loại A, E, O, I là so sánh được (chúng tương thích hoặc không tương thích với nhau). Trường hợp các phán đoán đơn có chủ từ hay vị từ khác nhau thì không so sánh được với nhau.

Thí dụ: Các phán đoán đơn sau đây:

(1) Thế hệ trẻ rất thống minh (S₁ - P₁)

(2) Thế hệ trẻ rất thích thể thao(S₁ - P₂)

(3) Ông An rất thống minh (S₂ - P₁)

(4) Ông An rất thích thể thao (S₂ - P₂)

Không so sánh được vối nhau vì chúng khác nhau về vị từ hoặc về chủ từ hoặc cả vị từ và chủ từ.

Các phán đoán phức cũng có thể không so sánh được với nhau, khi mà các phán đoán đớn hợp thành khác nhâu một phần hoặc khác nhau hoàn toàn.

Thí dụ: các phán đoán phức sau đây không so sánh được với nhau.

Hà Nội và Bắc Kinh đều là thủ đô:

\((\mathop S\nolimits_1 \wedge \mathop S\nolimits_2 - \mathop P\nolimits_1 )\)

Bắc Kinh và Tokyo đều là những thành phố lớn:

\((\mathop S\nolimits_2 \wedge \mathop S\nolimits_3 - \mathop P\nolimits_2 )\)

Hái Phòng và Đà Nẵng đều là thành phố do Trung ương quản lý

\((\mathop S\nolimits_4 \wedge \mathop S\nolimits_5 - \mathop P\nolimits_3 )\)

Hình thức logic đơn giản nhất của phán đoán đơn có dạng (S - P), trong đó S ký hiệu chủ từ logic, P ký hiệu vị từ logic, dấu trừ ký hiệu hệ từ logic; còn hình thức logic của phán đoán phức tùy thuộc vào loại liên từ logic mà ta có các dạng thức như: \(p \wedge q,\,\,q \vee q,\,p \to q\),vv...

Logic toán đã tiếp tục hình thức hóa cấu trúc logic của phán đoán, trước hết là của các phán đoán đơn loại A, E, I, O.

Hãy bắt đầu từ các phán đoán đơn cụ thể như:

• Nguyễn Công Hoan là nhà văn.
• Tô Hoài là nhà văn.
• Ngô Tất Tố là nhà văn.

Ta gọi Nguyễn Công Hoan, Tô Hoài, Ngô Tất Tố v.v, là những biến đổi tượng, ký hiệu chung là x. Khi đó ta sẽ có hàm phán đoán sau đây: P(x). Hàm phán đoán được biểu đạt thành một câu (một mệnh đề) có chứa biến đối tượng và trở thành phán đoán khi ta thấy biến đối tượng bằng một hằng đối tượng trong một tập hợp xác định các đối tượng. Ở đây có sự tương tự giữa hằng số và biến số trong toán học với hằng đối tượng và biến đối tượng trong lôgic học.

Để hình thức hóa phán đoán chung, dạng như: Mọi kim loại đều dẫn điện và phán đoán riêng như: Một số sinh viên là diễn viên, người ta sử dụng thêm khái niệm lượng từ. Lượng từ là tác tử lôgic định lương phán đoán. Trường hợp phán đoán chung, đó là lượng từ phố quát (lượng từ toàn thể), ký hiệu là \(\forall \), còn trường hợp phán đoán riêng, thì đó là lượng từ tồn tại (lượng từ bộ phận), ký hiệu là \(\exists \). Khi đó hình thức lôgic của phán oán chung sẽ có dạng ∀xP(x), còn hình thức lôgic của phán doãn riêng sẽ có dạng là \(\exists \)xP(x). Biến đối tượng x trong các dạng phán đoán bị lượng từ hóa như trên gọi là biên liên kết (biến buộc), khác với trường hợp không bị lượng từ hóa thì gọi là biến tự do.

Phép phủ định phán đoán chung và phán đoán riêng sẽ được chính thức hóa theo quy tắc De Morgan như sau:

(1) \(\overline \forall xP(x) = \exists \overline {P(x)} \)

(2) \(\overline \exists xP(x) = \forall \overline {P(x)} \)

Vận dụng nguyên tắc hình thức hóa nêu trên, ta cỏ the làm rõ hơn hình thức lôgic của các phán đoán loại A. E, O, I.

(1) Phán đoán loại A;

\(\forall x(S(x) \to P(x)) \wedge \exists x(S(x) \to P(x))\)

(2) Phán đoán loại E

\(\forall x(S(x) \to \overline {P(x)} ) \wedge \exists x(S(x) \to \overline {P(x)} )\)

(3) Phán đoán loại O

\(\exists x(S(x) \to \overline {P(x)} ) \vee \forall x(S(x) \to \overline {P(x)} )\)

(4) Phán đoán loại I

\(\exists x(S(x) \to P(x)) \wedge \forall x(S(x) \to P(x))\)

Nhờ phương pháp hình thức hóa cao độ này người ta đã phát triển lôgic mệnh đề (thực chất là lôgic phán đoán) thành lôgic vị từ (thực chất là lôgic khái niệm). Lôgic mệnh đề và lôgic vị từ cấu thành cơ sở của lôgic toán và lôgic ký hiệu tượng trưng.