Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 3

 

• Câu 1: Mã câu hỏi: 103189

  Cho f thuộc R khả vi tại a thuộc X.hãy tìm

  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a + h)}}{h}$

  Xem đáp án
  $\frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a + h)}}{h}$

  $= h\frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a)}}{{\mathop h\nolimits^2 }} - \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$

  -->-f"(a)

• Câu 2: Mã câu hỏi: 103190

  Hãy tính đạo hàm tại 0 của các hàm số sau (nếu có)

  $\mathop f\nolimits_1 (x) = \left\{ \begin{array}{l} \mathop x\nolimits^2 \sin \frac{1}{x}\\ 0 \end{array} \right.$

  $\mathop f\nolimits_2 (x) = \mathop x\nolimits^{\frac{1}{3}}$

  Xem đáp án
  $\frac{{\mathop f\nolimits_1 (h) - \mathop f\nolimits_1 (0)}}{h} = \frac{{\mathop h\nolimits^2 \sin \frac{1}{h}}}{h}$


 

• Câu 3: Mã câu hỏi: 103191

  Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R

  $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1,x \in Q\\ 3 - x,x \in R/Q \end{array} \right.$

  Xem đáp án
  Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

  $\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = \mathop x\nolimits_0  + 1,\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = 3 - \mathop x\nolimits_0$

  Vậy hàm không khả vi tại x khác 1

  Xét 1+h thuộc Q....

  Xét 1+h thuộc R\ Q

  vậy không tồn tại f'(1)

• Câu 4: Mã câu hỏi: 103192

  Tính đạo hàm  của hàm số

  $\left\{ \begin{array}{l} y = t - {\rm{ar}}ctgt\\ x = \ln (1 + \mathop t\nolimits^2 ) \end{array} \right.$

  Xem đáp án
  $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(t - {\rm{ar}}ctgt)}}{{d\ln (1 + \mathop t\nolimits^2 )}}$=$\frac{t}{2}$

• Câu 5: Mã câu hỏi: 103193

  Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=$\mathop x\nolimits^2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$

  Xem đáp án
  Áp dụng công thúc Leibnitz

  $\mathop f\nolimits^{100} (x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {\mathop C\nolimits_{100}^k } \mathop {\left( {\mathop x\nolimits^2 } \right)}\nolimits^k \mathop {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}\nolimits^{(100 - k)}$

  =$\mathop x\nolimits^2$sĩn-200x.cosx-9900sinx

• Câu 6: Mã câu hỏi: 103194

  Cho f: (-1,1)-->R

  f(x)=$\frac{{2x + 3}}{{\mathop {\left( {x - 1} \right)}\nolimits^2 (x + 1)}}$

  Hãy tính $\mathop f\nolimits^n (x)$

  Xem đáp án
  Phân tích f(x) thành các phân thức tối giản

  $f(x) = \frac{5}{2}.\frac{1}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^2 }} - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 1}}$

  $\mathop f\nolimits^{(n)} (x) = \frac{5}{2}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n + 1)!}}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^{2 + n} }} - \frac{1}{4}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n)!}}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^{2 + n} }} + \frac{1}{4}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n)!}}{{\mathop {(x + 1)}\nolimits^n }}$

• Câu 7: Mã câu hỏi: 103195

  Cho f,g thuộc C^2 trên R và h(x)=$\left\{ \begin{array}{l} f(x),g(x) \ge 0\\ f(x) + \mathop {\left( {g(x)} \right)}\nolimits^3 g(x) < 0 \end{array} \right.$

  chứng minh h thuộc C^2 trên R

  Xem đáp án
  Dễ dàng nhận được $\varphi (t) = \left\{ \begin{array}{l} 0,t \ge 0\\ \mathop t\nolimits^3 ,t < 0 \end{array} \right.$

  thuộc lớp C^2 trên R ==>$\varphi$ thuộc C^2 trên R==>h=f+$\varphi$ thuộc C^2 trên R

Đề thi nổi bật tuần