Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 2

 

• Câu 1: Mã câu hỏi: 103172

  Cho f,g : R-->R thỏa mãn mọi x,y thuộc R,(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0

  Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số 

  Xem đáp án
  Giả sử a,b thuộc R,f(a) khác f(b),ta sẽ chỉ ra g(x) là hằng số.trước hết có 

  với mọi x thuộc R \(\left\{ \begin{array}{l}
  \left( {f\left( a \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0\\
  \left( {f\left( b \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0
  \end{array} \right.\)

  Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra

  (f(a)-f(b))(g(a)-g(x))=0==>g(x)=g(a)

   

• Câu 2: Mã câu hỏi: 103173

  Tìm hàm f(x) trên R sao cho x.f(x)+f(1-x)=\(\mathop x\nolimits^3 \)+1,với mọi x thuộc R

  Xem đáp án
  Giả sử tồn tại f(x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:

  (1-x).f(1-x)+f(x)=2-3x+\(3\mathop x\nolimits^2 \mathop { - x}\nolimits^3 \)

  Suy ra \(\begin{array}{l}
  (\mathop x\nolimits^2  - x + 1)f(x) = \mathop {(\mathop x\nolimits^2  - x + 1)}\nolimits^2 \\
   \Rightarrow f(x) = (\mathop x\nolimits^2  - x + 1)
  \end{array}\)

  Kiểm tra \(f(x) = (\mathop x\nolimits^2  - x + 1)\)


 

• Câu 3: Mã câu hỏi: 103174

  Cho \(\mathop {a \in R}\nolimits_ + ^* \backslash {\rm{\{ }}1\} \),giải phương trình \(\mathop {\log }\nolimits_a x - \mathop {\log }\nolimits_{\mathop a\nolimits^2 } x + \mathop {\log }\nolimits_{\mathop a\nolimits^4 } x = \frac{3}{4}\)

  Xem đáp án
  Điều kiện \(\begin{array}{l}
  \mathop {x \in R}\nolimits_ + ^* \\
  \ln x(\frac{1}{{\ln a}} - \frac{1}{{2\ln a}} + \frac{1}{{4\ln a}}) = \frac{3}{4}\\
   \Leftrightarrow \ln x = \ln a \Leftrightarrow x = a
  \end{array}\)

• Câu 4: Mã câu hỏi: 103175

  Giả phương trình sau arcsin(tgx)=x

  Xem đáp án
  Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
  x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\\
  tgx \in {\rm{[}} - 1,1] \Rightarrow x \in \left( { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right)
  \end{array} \right.\)

  arcsin(tgx)=arcsin(sinx)

  ==>tgx=sinx

  ==.sinx(1-(1/cosx))=0

  \(\left[ \begin{array}{l}
  {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0\\
  \cos x = 1
  \end{array} \right. \Rightarrow x = k\pi ,k \in Z\)

  Vì \(k\pi  \notin \left[ {\frac{{ - \pi }}{4},\frac{{ - \pi }}{4}} \right]\) nên phương trình vô nghiệm

• Câu 5: Mã câu hỏi: 103176

  Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {2x + 1}  - 3}}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt 2 }}\)

  Xem đáp án
  \(\frac{{\sqrt {2x + 1}  - 3}}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt 2 }} = \frac{{2(x - 4)(\sqrt {x - 2}  + \sqrt 2 )}}{{(x - 4)(\sqrt {2x + 1}  + 3)}}\frac{{2.2\sqrt 2 }}{{2.3}} = \frac{2}{3}\sqrt 2 \)

• Câu 6: Mã câu hỏi: 103177

  Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\)

  Xem đáp án
  \(\begin{array}{l}
  \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{{(cosx - 1) + (1 - \cos 3x)}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\\
   = \frac{{ - 1}}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{x}{2}}}{{\mathop {(\frac{x}{2})}\nolimits^2 }} + \frac{9}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{3x}}{2}}}{{\mathop {(\frac{{3x}}{2})}\nolimits^2 }}
  \end{array}\)

• Câu 7: Mã câu hỏi: 103178

  Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \mathop {\left( {\frac{{x - 1}}{{\mathop x\nolimits^2  + 1}}} \right)}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } ,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \mathop {(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}\nolimits^{\frac{1}{x}} \)

  Xem đáp án
  \(\mathop {\left( {\frac{{x - 1}}{{\mathop x\nolimits^2  + 1}}} \right)}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 }  = \mathop {\left( {1 - \frac{2}{{1 + \mathop x\nolimits^2 }}} \right)}\nolimits^{\left( { - \frac{{1 + \mathop x\nolimits^2 }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 2\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2  + 1}}} \right)} \mathop e\nolimits^{ - 2} \)

• Câu 8: Mã câu hỏi: 103179

  Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2  + x - 1}}{{2\mathop x\nolimits^2  - 2}},\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2  + x + 1}}{{\mathop x\nolimits^3  + 2}}\)

  Xem đáp án
  \(\begin{array}{l}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2  + x - 1}}{{2\mathop x\nolimits^2  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{2\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{1}{2}\\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\mathop x\nolimits^2  + x + 1}}{{\mathop x\nolimits^3  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0
  \end{array}\)

Đề thi nổi bật tuần