-
Câu 1:
Mã câu hỏi: 102809
Tung một con xúc xắc (6 mặt) hai lần. Tìm xác suất để trong đó có 1 lần ra 6 chấm.?
Xem đáp án
Theo quy tắc nhân ta có số các trường hợp có thể khi tung con xúc xắc 2 lần là 6.6 = 36. Gọi A là biến cố “ trong 2 lần tung con xúc xắc có 1 lần được mặt 6”. Nếu lần thứ nhất ra mặt 6 thì lần thứ hai chỉ có thể ra các mặt từ 1 đến 5, do đó có 5 trường hợp. Tương tự cũng có 5 trường hợp chỉ xuất hiện mặt 6 ở lần tung thứ hai. Áp dụng quy tắc cộng ta suy ra biến cố “chỉ có một lần ra mặt 6 khi 2 tung xúc xắc” có 10 trường hợp thuận lợi. Vậy xác suất cần tìm là 10/36
-
Câu 2:
Mã câu hỏi: 102810
a. Có bao nhiêu số có 4 chữ số.
b. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.
c. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chữ số cuối là 0
Xem đáp án
a. Có 9 cách chọn chữ số đầu tiên (vì chữ số đầu tiên khác 0) và các chữ số còn lại có 10 cách chọn cho từng chữ số. Vậy có 9.10.10.10=9000 số cần tìm. b. Có 9 cách chọn chữ số đầu tiên (vì chữ số đầu tiên khác 0), 9 cách chọn chữ số thứ hai, 8 cách chọn chữ số thứ ba và 7 cách chọn chữ số thứ tư. Vậy có 9.9.8.7=4536 số cần tìm.
c. Vì chữ số thứ tư là số 0 và các chữ số này khác nhau do đó có 9 cách chọn chữ số đầu tiên, 8 cách chọn chữ số thứ hai, 7 cách chọn chữ số thứ ba. Vậy có 9.8.7=504 số cần tìm
-
Câu 3:
Mã câu hỏi: 102811
a. Có bao nhiêu cách bố trí 5 nam SV và 4 nữ SV theo một hàng.
b. Có bao nhiêu cách bố trí 5 nam SV và 4 nữ SV theo một hàng, sao cho các nữ SV ở vị trí số chẵn.
Xem đáp án
a. Số cách bố trí 9 SV (gồm 5 nam SV và 4 nữ SV) theo một hàng là 9!= 362880. b. Có 5! cách bố trí nam SV, ứng với mỗi cách bố trí nam SV có 4! cách bố trí nữ SV vào vị trí chẵn tương ứng. Vậy có 5!4!=2880 cách bố trí theo yêu cầu.
-
Câu 4:
Mã câu hỏi: 102812
Có n người ( n \( \ge \) 3 ), trong đó có hai người là anh em.
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn.
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn, trong đó có hai người là anh em ngồi cạnh nhau.
c. Có bao nhiêu cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn, trong đó có hai người là anh em không ngồi cạnh nhau.
Xem đáp án
a. Có 1 người ngồi ở vị trí bất kỳ, vì vậy n -1 người còn lại có ( n-1)! cách chọn vị trí ngồi. Vậy có ( n-1)! cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn.
b. Người anh ngồi ở một vị trí tùy ý, người em ngồi vào 1 trong 2 chỗ cạnh người anh (có 2 cách) và n - 2 người còn lại còn lại ngồi tùy ý vào n - 2 chỗ còn lại (có ( n-2)! cách). Vậy số các cách sắp xếp theo yêu cầu là 2.( n-2)! .
c. Sử dụng kết quả phần a. và b. ta suy ra số cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn, trong đó có hai người là anh em không ngồi cạnh nhau là
( n-1)! -2.( n-2)! =( n-2)! [(n- 1) -2 ]
-
Câu 5:
Mã câu hỏi: 102813
Xếp ngẫu nhiên 6 quốn sách toán và 4 quốn sách lí vào 1 giá sách. Tính xác suất để 3 cuốn sách toán dứng cạnh nhau ?
Xem đáp án
Số trường hợp có thể là số cách sắp xếp 10 cuốn sách vào giá sách đó là 10!.
Ta xem 3 cuốn sách toán đứng cạnh nhau như là một cuốn sách lớn. Như vậy ta cần sắp xếp 8 cuốn sách vào giá sách (có 8! cách), ngoài ra 3 cuốn sách toán đứng cạnh nhau có 3! cách sắp xếp. Do đó số các trường hợp thuận lợi là 8!3!. Vậy xác suất 3 cuốn sách toán đứng cạnh nhau là \(P = \frac{{8!3!}}{{10!}}\)
-
Câu 6:
Mã câu hỏi: 102814
Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ được rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi.
Xem đáp án
Gọi A là biến cố “quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”. Số các trường hợp có thể là số các cặp hai chữ số khác nhau từ 10 chữ số từ 0 đến 9. Nó bằng số các chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Vậy số các trường hợp có thể là
\(\mathop A\nolimits_{10}^2 = 10.9 = 90\)
Số các trường hợp thuận lợi của A là 1. Vậy P(a)=1/90 . Cũng có thể tính trực tiếp số trường hợp có thể của biến cố A như sau: Có 10 khả năng cho con số ở hàng chục và với mỗi con số hàng chục có 9 khả năng cho con số ở hàng đơn vị khác với hàng chục. Áp dụng quy tắc nhân ta được số các trường hợp có thể là 10.9=90
-
Câu 7:
Mã câu hỏi: 102815
Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 6 người là như nhau. Tính xác suất biến cố:
a. Hai người trúng tuyển là nam
b. Hai người trúng tuyển là nữ
c. Có ít nhất 1nữ trúng tuyển
Xem đáp án
Số trường hợp có thể là số tổ hợp chập 2 của 6 phần tử, vậy \(\left| \Omega \right| = \mathop C\nolimits_6^2 = \frac{{6.5}}{2} = 15\)
a. Chỉ có 1 trường hợp cả 2 nam đều trúng tuyển do đó xác suất tương ứng là P=1/15
b.
Có \(\mathop C\nolimits_4^2 = \frac{{4.3}}{2} = 6\) cách chọn 2 trong 4 nữ, vậy xác suất tương ứng P=6/15
c:
Trong 15 trường hợp có thể chỉ có 1 trường hợp cả 2 nam được chọn, vậy có 14 trường hợp ít nhất 1 nữ được chọn. Do đo xác suất tương ứng P=14/15
-
Câu 8:
Mã câu hỏi: 102816
Cần sắp xếp 4 cuốn sách toán, 6 sách lý và 2 sách hóa khác nhau trên cùng một giá sách. Có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:
a. Các cuốn sách cùng môn học phải đứng cạnh nhau.
b. Chỉ cần các sách toán đứng cạnh nhau.
c. Nếu các cuốn sách trong mỗi môn học giống nhau thì có bao nhiêu cách sắp xếp
Xem đáp án
a. Có 4! cách sắp xếp các cuốn sách toán, 6! cách sắp xếp các cuốn sách lý, 2! cách sắp xếp các cuốn sách hóa và 3! cách sắp xếp 3 nhóm toán, lý, hóa. Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu là 4!6!2!3!=207.360.
b. Ta ghép 4 sách toán thành 1 cuốn sách to. Như vậy có 9 cuốn sách cần sắp xếp, do đó có 9! cách sắp xếp. Trong mỗi trường hợp này các cuốn sách toán luôn đứng bên nhau, nhưng có 4! cách sắp xếp 4 cuốn sách toán. Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu là 9!4!=8.709.120.
c. Vì các cuốn sách cùng loại không phân biệt nên số cách sắp xếp là \(\frac{{12!}}{{4!6!2!}}\)
-
Câu 9:
Mã câu hỏi: 102817
Trong phòng có n người ( n < 365 ; một năm có 365 ngày).
a. Tính xác suất có ít nhất hai người có cùng ngày sinh?
b. Tính xác suất này khi n =10 .
Xem đáp án
. Gọi A là biến cố có ít nhất hai người trong phòng có cùng ngày sinh. Biến cố đối \(\overline A \) là biến cố mọi người không trùng ngày sinh. Mọi người đều đồng khả năng được sinh ra vào một ngày bất kỳ trong năm do đó số các trường hợp có thể là \(\mathop {365}\nolimits^n \) Số trường hợp thuận lợi đối với biến cố đối \(\overline A \) là số chỉnh hợp chập n của 365. Vậy
\(\begin{array}{l}
P(\overline A ) = \frac{{\mathop A\nolimits_{365}^n }}{{\mathop {365}\nolimits^n }} = \frac{{(365)(364)...(365 - n + 1)}}{{\mathop {365}\nolimits^n }},\\
P(A) = 1 - P(\overline A )
\end{array}\)
b:
khi n =10 thì \(\begin{array}{l}
P(\overline A ) = \frac{{\mathop A\nolimits_{365}^{10} }}{{\mathop {365}\nolimits^{10} }} = 0,883,P(A)\\
= 1 - 0,833 = 0,117
\end{array}\)
-
Câu 10:
Mã câu hỏi: 102818
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối (6 mặt). Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc \( \ge \) 10 biết rằng ít nhất một con đã ra mặt có 5 chấm.
Xem đáp án
Gọi A là biến cố " ít nhất một con ra 5 chấm", bằng cách tính sử dụng xác suất biến cố ta có
\(P(A) = 1 - \frac{{\mathop 5\nolimits^2 }}{{\mathop 6\nolimits^2 }} = \frac{{11}}{{36}}\)
Gọi B là biến cố "tổng số chấm trên hai con \(\ge \)10 "
Biến cố A \( \cap \)B có 3 kết quả thuận lợi là (5,6), (6,5), (5,5). Vậy
\(P(A \cap B) = \frac{3}{{36}} \Rightarrow P(B|A) = \frac{3}{{36}}/\frac{{11}}{{36}} = \frac{3}{{11}}\)
Ta cũng có thể tính trực tiếp như sau. Có 11 trường hợp ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm: (5,1);(5,2);(5,3);(5,4); ; ;(1,5);(2,5);(3 (5,5) (5,6) (6,5) ,5);(4,5); trong đó có 3 trường hợp tổng số chấm \( \ge \) 10
Vậy \(P(B|A) = \frac{3}{{11}}\)
