Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 3

 

• Câu 1: Mã câu hỏi: 103215

  Tính

  a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {2x + 1}  - 3}}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt 2 }}\)

  b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\)

  Xem đáp án
  a.\(\frac{{\sqrt {2x + 1}  - 3}}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt 2 }} = \frac{{2(x - 4)(\sqrt {x - 2}  + \sqrt 2 )}}{{(x - 4)(\sqrt {2x + 1}  + 3)}}\frac{{2.2\sqrt 2 }}{{2.3}} = \frac{2}{3}\sqrt 2 \)

  b.\(\begin{array}{l}
  \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{{(cosx - 1) + (1 - \cos 3x)}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\\
   = \frac{{ - 1}}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{x}{2}}}{{\mathop {(\frac{x}{2})}\nolimits^2 }} + \frac{9}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{3x}}{2}}}{{\mathop {(\frac{{3x}}{2})}\nolimits^2 }}
  \end{array}\)

• Câu 2: Mã câu hỏi: 103216

  Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R

  \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
  x + 1,x \in Q\\
  3 - x,x \in R/Q
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án
  Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

  \(\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = \mathop x\nolimits_0  + 1,\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = 3 - \mathop x\nolimits_0 \)

  Vậy hàm không khả vi tại x khác 1

  Xét 1+h thuộc Q....

  Xét 1+h thuộc R\ Q

  vậy không tồn tại f'(1)


 

• Câu 3: Mã câu hỏi: 103217

  cho hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}
  \frac{{x.\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 }  - 1}},x > 0\\
  3\cos x + x,x \le 0
  \end{array} \right.\)

  a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0

  b.Tính f'(1)

  Xem đáp án
  a.\(\begin{array}{l}
  \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } \frac{{x\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 }  - 1}} = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } \frac{{3\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = 3\\
  \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } (3\cos x + x) = 3\\
  f(0) = 3\\
  \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } f(x) = f(0)
  \end{array}\) 

  Nên hám số liên tục tại 0

  b:

  \(\begin{array}{l}
  x > 0,f'(x) = \frac{{\left( {\ln (3x + 1} \right) + \frac{{3x}}{{3x + 1}})(\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2  - 1} ) - 2\mathop x\nolimits^2 .\mathop {\mathop e\nolimits^x }\nolimits^2 .\ln (3x + 1)}}{{\mathop {\mathop {(e}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2  - 1} )}\nolimits^2 }}\\
  f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}
  \end{array}\)

  TXD: R,T=2\(\begin{array}{l}
  f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}\\
  \pi 
  \end{array}\)

  Bảng biến thiên...

  Vẽ đồ thị...

• Câu 4: Mã câu hỏi: 103218

  Tính tích phân suy rộng sau \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} \)

  Xem đáp án
  \(\begin{array}{l}
  \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}}  = \mathop {\lim }\limits_{c \to  + \infty } \int\limits_0^c {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} \\
   = \mathop {\lim }\limits_{c \to  + \infty } \int\limits_0^c {\frac{{\mathop {d(e}\nolimits^x )}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}}  = \mathop {\lim }\limits_{c \to  + \infty } \mathop {\left. {(\arctan (\mathop e\nolimits^x )} \right|}\nolimits_0^{ + \infty } )\\
   = \frac{\pi }{4}
  \end{array}\)

Đề thi nổi bật tuần