Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 1

 

• Câu 1: Mã câu hỏi: 103208

  Cho số phức $z = \frac{{1 + i}}{{1 - \sqrt 3 i}}.$.Tính $\mathop z\nolimits^{2016}$ và $\sqrt[5]{z}$

  Xem đáp án
  $\begin{array}{l} z = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{4} + \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}i = z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(cos\frac{{7\pi }}{{12}}{\rm{i}}\sin \frac{{7\pi }}{{12}})\\ \mathop z\nolimits^{2016}  = \frac{1}{{\mathop {(\sqrt 2 )}\nolimits^{2016} }}\left( {\cos \frac{{7\pi .2016}}{{12}}{\rm{ + i}}\sin \frac{{7\pi .2016}}{{12}}} \right)\\ k = 0,1,2,3,4 \end{array}$

• Câu 2: Mã câu hỏi: 103209

  cho hàm số $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x.\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 }  - 1}},x > 0\\ 3\cos x + x,x \le 0 \end{array} \right.$

  a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0

  b.Tính f'(1)

  Xem đáp án
  a.$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } \frac{{x\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 }  - 1}} = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } \frac{{3\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = 3\\ \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } (3\cos x + x) = 3\\ f(0) = 3\\ \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ -  } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } f(x) = f(0) \end{array}$ 

  Nên hám số liên tục tại 0

  b:

  $\begin{array}{l} x > 0,f'(x) = \frac{{\left( {\ln (3x + 1} \right) + \frac{{3x}}{{3x + 1}})(\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2  - 1} ) - 2\mathop x\nolimits^2 .\mathop {\mathop e\nolimits^x }\nolimits^2 .\ln (3x + 1)}}{{\mathop {\mathop {(e}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2  - 1} )}\nolimits^2 }}\\ f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }} \end{array}$

  TXD: R,T=2$\begin{array}{l} f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}\\ \pi  \end{array}$

  Bảng biến thiên...

  Vẽ đồ thị...


 

• Câu 3: Mã câu hỏi: 103210

  1. Tính tích phân suy rộng I=$\int_0^2 {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx$

  2.Khảo sát sự hội tụ của tíc phân suy rộng $\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3  + 2}}{{\mathop x\nolimits^5  - x + 3}}}$

  Xem đáp án
  1.

  I=$\begin{array}{l} \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ -  } \int\limits_0^a {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx\\ \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ -  } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {2 - a} } {(2\mathop t\nolimits^2  - 4)} \\ \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ -  } \mathop {\left. {\left( {\frac{{2\mathop t\nolimits^3 }}{3} - 4t} \right)} \right|}\nolimits_{\sqrt a }^{\sqrt {2 - a} }  = \frac{{8\sqrt 2 }}{3} \end{array}$

  2.

  $\begin{array}{l} f(x) = \frac{{\mathop x\nolimits^3  + 2}}{{\mathop x\nolimits^5  - x + 3}},g(x) = \frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }},\mathop {\lim }\nolimits_{x \to  + \infty \frac{{f(x)}}{{g(x)}}}  = 1\\ \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }}} dx \end{array}$ hội tụ

  $\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3  + 2}}{{\mathop x\nolimits^5  - x + 3}}dx}$ hội tụ theo  tiêu chuẩn so sánh 2

• Câu 4: Mã câu hỏi: 103211

  Khảo sát  sự hội tụ của chuổi $\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n(n + 1)} }$

  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^n }}{{\mathop n\nolimits^2  + n}}}$

  Xem đáp án
  $\mathop {\lim }\nolimits_{n \to  + \infty } \sqrt[n]{{\mathop u\nolimits_n }} = \mathop {\lim }\nolimits_{n \to  + \infty } \mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n + 1}  = \frac{1}{e} < 1$

  nên chuối hội tụ

Đề thi nổi bật tuần