Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 1

 

• Câu 1: Mã câu hỏi: 103167

  Tìm các tiệm cận dưới  và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập 

  \(X = \left\{ {\frac{1}{{\mathop 2\nolimits^n }} + \frac{{\mathop {( - 1)}\nolimits^n }}{n},n \in \mathop N\nolimits^* } \right\} = \left\{ {\mathop u\nolimits_n ,n \in \mathop N\nolimits^* } \right\}\)

  Xem đáp án
  Với mọi p thuộc \({\mathop N\nolimits^* }\)

  ta có : \(\begin{array}{l}
  \mathop u\nolimits_{2p}  = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p} }} + \frac{1}{{2p}} \Rightarrow 0 < \mathop u\nolimits_{2p}  < \mathop u\nolimits_2  = \frac{3}{4}\\
  \mathop u\nolimits_{2p + 1}  = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} - \frac{1}{{2p + 1}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} \le \frac{{ - 1}}{{2p + 1}} \le \mathop u\nolimits_{2p + 1}  \le \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} \le \frac{1}{8}\\
  \mathop u\nolimits_1  = \frac{{ - 1}}{2}
  \end{array}\)

  Suy ra với mọi n thuộc \({\mathop N\nolimits^* }\)

  ta có \(\frac{{ - 1}}{2} = \mathop u\nolimits_1  \le \mathop u\nolimits_n  \le \mathop u\nolimits_2  = \frac{3}{4}\)

  InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

• Câu 2: Mã câu hỏi: 103168

  Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên 

  a: Chứng minh Sup(\(A \cup B\)=Max(Sup(A),sup(B))

  b: Gọi A+B={\(x \in R,\exists (a,b) \in A.B,x = a + b\)},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)

  Xem đáp án
  Kí hiệu \(\alpha  = SupA,\beta  = SupB,\gamma  = Max(\alpha ,\beta )\).Vậy tập hợp các cận trên của \(A \cup B\)  chính là X=\(X = {\rm{\{ }}x,x \ge \alpha ,x \ge \beta \)}


 

• Câu 3: Mã câu hỏi: 103169

  Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho

  Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z

  Xem đáp án
  Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng

   suy ra \((1 + \mathop z\nolimits^2 )f(z) = 1 + \mathop z\nolimits^2 \)

  Chứng tỏ f(z)=1 nếu \(z \pm i\)

  Đạt f(i)=\(\alpha  + i\beta  \in C,\alpha ,\beta  \in R \Rightarrow f( - i) = 1 - i + i\alpha  - \beta \)

  f:C--->C 

  Kiểm tra 

  \(z \to \left\{ \begin{array}{l}
  1\\
  \alpha \\
  1 - \beta  + i(\alpha  - 1)
  \end{array} \right.\)

• Câu 4: Mã câu hỏi: 103170

  Tính \(\begin{array}{l}
  a.\frac{{\sqrt 3  - i}}{{1 + i}}\\
  b.(1 - i)(1 - \sqrt 3 i)(\sqrt 3  + 1)
  \end{array}\)

  Xem đáp án
  \(a.z = \mathop z\nolimits_1 \mathop z\nolimits_2 \mathop z\nolimits_{3,} \mathop z\nolimits_1  = 1 - i,\mathop z\nolimits_2  = 1 - \sqrt 3 i,\mathop z\nolimits_3  = \sqrt 3  + i\)

  Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này

  \(\begin{array}{l}
  \mathop r\nolimits_1  = \left| {\mathop z\nolimits_1 } \right| = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 ,\mathop \theta \nolimits_1  = \arg \mathop z\nolimits_1 ,\left\{ \begin{array}{l}
  tg\mathop \theta \nolimits_1  =  - 1\\
  tg\mathop \theta \nolimits_1  > 0
  \end{array} \right.\\
   =  =  > \mathop \theta \nolimits_1  = \frac{{ - 3,14}}{4}
  \end{array}\)

  Tương tự nhận được \(\mathop r\nolimits_2  = 2,\mathop \theta \nolimits_2  = \frac{{ - \pi }}{3},\mathop r\nolimits_2  = 2,\mathop \theta \nolimits_2  = \frac{\pi }{6}\)

   

• Câu 5: Mã câu hỏi: 103171

  Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì 

  \(\left[ \begin{array}{l}
  \left| {1 + z} \right| \ge \frac{1}{2}\\
  \left| {1 + \mathop z\nolimits^2 } \right| < 1
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án
  Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho 

  \(\left( \begin{array}{l}
  |1 + z| < \frac{1}{2}\\
  |1 + \mathop z\nolimits^2 | < 1
  \end{array} \right.\)

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  \mathop {(\mathop x\nolimits^2  + \mathop y\nolimits^2 )}\nolimits^2  + 2\mathop {(x}\nolimits^2  - \mathop y\nolimits^2 ) < 0\\
  \mathop x\nolimits^2  + \mathop y\nolimits^2  + 2x + \frac{3}{4} < 0
  \end{array} \right.\)

Đề thi nổi bật tuần