Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán lớp 11 Lê Văn Đoàn

Tải về

Đề cương gồm 147 trang gồm các phần tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải các dạng bài tập Đại số và Giải tích - Hình học trong chương trình học kì 1 Toán 11.

PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 0: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

 

Xin mời các em tham khảo video Ôn tập học kì 1 Toán 11: Phần 1 Đại số và Giải tích của Thầy Phạm Sỹ Nam để ôn tập kiến thức trọng tâm của chương trình và nắm các phương pháp làm bài.

Để xem đầy đủ nội dung, các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Hoc247 tải file PDF tài liệu về máy.

1. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

a. Định nghĩa

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \alpha  = \overline {OK} \\ \bullet \,\,\cos \alpha  = \overline {OH} \end{array}\)                                          \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \alpha  = \overline {AT} \,\,\left( {\alpha  \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \bullet \,\,\cot \alpha  = \overline {BU} \,\,(\alpha  \ne k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z})\end{array}\)

b. Tính chất

\(\begin{array}{l} \bullet \,\, - 1\,\, \le \,\,\sin \alpha  \le \,\,1,\,\forall \alpha \,\\ \bullet \,\, - 1\,\, \le \,\,\cos \alpha  \le \,\,1,\,\forall \alpha \,\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\alpha \, + k2\pi ) = \sin \alpha \,,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cos (\alpha \, + k2\pi ) = \cos \alpha \,,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\tan (\alpha  + k\pi ) = \tan \alpha ,\,k\, \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cot (\alpha  + k\pi ) = \cot \alpha ,\,k\, \in \mathbb{Z}\end{array}\)

 

c. Các hệ thức cơ bản

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\,\forall \alpha \\ \bullet \,\,\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\,\forall \alpha  \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},\,\forall \alpha  \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\,\forall \alpha  \ne k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\,\forall \alpha  \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\,\forall \alpha  \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

2. Giá trị lượng giác một số góc (cung) có liên quan đặc biệt 

Hai gốc đối nhau

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin ( - \alpha ) =  - \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan ( - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot ( - \alpha ) =  - \cot \alpha \end{array}\)

 

Hai góc bù nhau

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\pi  - \alpha ) = \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos (\pi  - \alpha ) =  - \cos \alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot (\pi  - \alpha ) =  - \cot \alpha \end{array}\)

 

 

 

 

 

Hai góc hơn kém nhau \(\pi \)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\alpha  + \pi ) =  - \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos (\alpha  + \pi ) =  - \cos \alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (\alpha  + \pi ) = \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot (\alpha  + \pi ) = \cot \alpha \end{array}\)

 

 

 

 

 

Hai góc hơn kém nhau \(\frac{\pi }{2}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha \\ \bullet \,\,\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \sin \alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \cot \alpha \\ \bullet \,\,\cot \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \tan \alpha \end{array}\)

 

 

 

 

 

 

Hai góc phụ nhau

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \bullet \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\ \bullet \,\,\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\)

 

 

 

 

 

 

3. Một số công thức lượng giác

a. Công thức cộng

 

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\ \bullet \,\,\sin (a - b) = \sin a\cos b - \sin b\cos a\\ \bullet \,\,\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \bullet \,\,\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\end{array}\)

 

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\,\,\,\,\,\\ \bullet \,\,\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

 

 

 

 

 

 

 

b. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin 2a = 2\sin a\cos a\\ \bullet \,\,\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\end{array}\)

\( \bullet \,\,\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}},\,\tan a \ne  \pm 1\)

 

c. Công thức nhân ba

\( \bullet \,\,\sin 3{\rm{a}} = 3\sin {\rm{a}} - 4{\sin ^3}{\rm{a}}\)

\( \bullet \,\,\cos 3{\rm{a}} = 4{\cos ^3}{\rm{a}} - 3\cos {\rm{a}}\)

\( \bullet \,\,\tan 3a = \frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\)

 

d. Công thức hạ bậc

\( \bullet \,\,{\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}\)

\( \bullet \,\,{\sin ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}\)

\( \bullet \,\,{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)

\( \bullet \,\,{\cos ^3}a = \frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}\)

\( \bullet \,\,{\tan ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}\)

\( \bullet \,\,{\tan ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{{3\cos a + \cos 3a}}\)

d. Công thức tính theo \(t = \tan \frac{a}{2}\)

Đặt \(t = \tan \frac{a}{2}\), \({\rm{a}} \ne (2k + 1)\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\(\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)

\(\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

\(\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\)

 

e. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a\sin b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\ \bullet \,\,\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\\ \bullet \,\,\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\end{array}\)

 

f. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a\cos b}}\\ \bullet \,\,\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a\cos b}}\\ \bullet \,\,\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a\sin b}}\\ \bullet \,\,\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a\sin b}}\end{array}\)

g. Chú ý 

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a + \cos a = \sqrt 2 .\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\sin a - \cos a = \sqrt 2 .\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\cos a + \sin a = \sqrt 2 .\cos \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\cos a - \sin a = \sqrt 2 .\cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,1 + \sin 2a = {(\sin a + \cos a)^2}\\ \bullet \,\,1 - \sin 2a = {(\sin a - \cos a)^2}\\ \bullet \,\,1 + \cos 2a = 2{\cos ^2}a\\ \bullet \,\,1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a\\ \bullet \,\,\sin a\cos a = \frac{1}{2}\sin 2a \Rightarrow {\sin ^n}a{\cos ^n}a = \frac{1}{{{2^n}}}{\sin ^n}2a\\ \bullet \,\,{\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\\ \bullet \,\,{\sin ^6}a + {\cos ^6}a = 1 - 3{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2a = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4a\\ \bullet \,\,{\sin ^8}a + {\cos ^8}a = 1 - 4{\sin ^2}a{\cos ^2}a + 2{\sin ^4}a{\cos ^4}a\end{array}\)


 

 

 

 

 

 

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Các em quan tâm có thể xem thêm:

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!