Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10

1. Định nghĩa

Elip là tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt phẳng và tổng khoảng cách tới hai điểm cố định luôn là một số dương không đổi 2a.

Khi đó:

+ \({{F}_{1}},\,{{F}_{2}}\) gọi là tiêu điểm của elip + \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c\,\,\left( 0<c<a \right)\) gọi là tiêu cự của elip + Tỉ số \(e=\frac{c}{a}<1\) gọi là tâm sai

 

Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) qua tâm \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc ngoài với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) và tiếp xúc trong với \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là      A. một đường thẳng                                           B. một đường tròn             C. một đường parabol                                        D. một đường elip

Lời giải

+ Gọi đường tròn tiếp xúc ngoài với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) và tiếp xúc trong với \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có tâm M và bán kính là R.

\(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\) và bán kính \({{R}_{1}}\)

\(\left( {{C}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}\) và bán kính \({{R}_{2}}\)

+ Do \(\left( {{C}_{m}} \right)\) tiếp xúc trong với \(\left( {{C}_{1}} \right)\Rightarrow M{{I}_{1}}={{R}_{1}}-R\)

         \(\left( {{C}_{m}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{C}_{2}} \right)\Rightarrow M{{I}_{2}}={{R}_{2}}+R\)

\(\Rightarrow M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\left( * \right)\)

Do \(\left( {{C}_{1}} \right),\,\left( {{C}_{2}} \right)\) cố định nên \({{I}_{1}},\,{{I}_{2}}\) cố định và \({{R}_{1}}+{{R}_{2}}=2a>0\) là số không đổi nên \(\left( * \right)

\(\Rightarrow \) Tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cố định \({{I}_{1}},\,{{I}_{2}}\) là một số dương không đổi \(2a={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\)

\(\Rightarrow \) Tập hợp M là một đường elip (tiêu điểm \({{I}_{1}},\,{{I}_{2}}\))

Đáp án D.

2. Phương trình elip

+ Trong mặt phẳng Oxy, cho \({{F}_{1}}\left( -c;0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( c;0 \right)\) và độ dài không đổi 2a với \(a>c>0\,\,\forall M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a\) ta được

\(\left\{ \begin{align} & M{{F}_{1}}=a+\frac{cx}{a} \\ & M{{F}_{2}}=a-\frac{cx}{a} \\ \end{align} \right.\left( 1 \right)\) gọi lá bán kính qua tiêu điểm của M

+ Từ \(M{{F}_{1}}=a+\frac{cx}{a}\Rightarrow \sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=a+\frac{cx}{a}\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right){{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{x}^{2}}=\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right){{a}^{2}}\)

Đặt \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}>0\Rightarrow {{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip có:

+ Tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( -c;0 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( c;0 \right)\)

+ Tiêu cự \({{F}_{1}}{{F}_{2}}={{c}_{1}}{{c}_{2}}\)

+ Tâm sai \(e=\frac{c}{a}\)

Lưu ý: (1) được chứng minh trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

Ví dụ 2: Cho \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\). Một tiêu điểm của (E) có tọa độ là A. \({{F}_{1}}\left( 3;0 \right)\) B. \({{F}_{1}}\left( 0;-3 \right)\) C. \({{F}_{1}}\left( -3;0 \right)\) D. \({{F}_{1}}\left( 0;5 \right)\)

Lời giải

Ta có \({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=25-16=9\Rightarrow c=3\Rightarrow {{F}_{1}}\left( -3;0 \right)\)

Đáp án C.

Ví dụ 3: Cho \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\). Có bao nhiêu điểm \(M\in \left( E \right)\) sao cho \(M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}\)      A. 0                     B. 1                           C. 2                          D. 4

Lời giải

Gọi \(M\left( x;y \right)\in \left( E \right)\)

Ta có \(a=5;\,\,b=4;\,\,c=3\Rightarrow M{{F}_{1}}=a+\frac{cx}{a}=5+\frac{3x}{5};\,\,M{{F}_{2}}=a-\frac{cx}{a}=5-\frac{3x}{5}\)

\(M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}\Leftrightarrow 5+\frac{3x}{5}=2\left( 5-\frac{3x}{5} \right)\Rightarrow x=\frac{25}{9}\Rightarrow \frac{{{\left( \frac{25}{9} \right)}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\Rightarrow y=\pm \frac{8\sqrt{14}}{9}\)

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn

Đáp án C

3. Dạng của elip

- Tính đối xứng:

Cho \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{M}_{1}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( E \right)\Rightarrow \frac{x_{0}^{2}}{{{a}^{2}}}+\frac{y_{0}^{2}}{{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{{\left( \pm {{x}_{0}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( \pm {{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)

\({{M}_{2}}\left( -{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),\,\,{{M}_{3}}\left( {{x}_{0}};-{{y}_{0}} \right)\) và \({{M}_{4}}\left( -{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) cũng thuộc (E)

(E) đối xứng qua hai trục tọa độ và gốc tọa độ bởi vậy để chứng minh một tính chất bất kì của (E) ta có quyền giả sử x, y là các số không âm.

- Giao điểm với các trục:

\(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) cắt Ox tại \({{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right)\) và cắt Oy tại \({{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)\)

\(\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a\) là trục lớn của (E)

\({{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b\) là trục nhỏ của (E)

- Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật ABCD với \(A\left( -a;b \right),\,B\left( a;b \right),\,C\left( a;-b \right),\,D\left( -a;-b \right)\)

\(\Rightarrow \) Diện tích hình chữ nhật cơ sở là \({{S}_{ABCD}}=2a.2b=4ab\)

Ví dụ 4: (E) có một tiêu điểm là \(F\left( -2;0 \right)\) và một đỉnh \(A\left( 5;0 \right)\) có phương trình là A. \(\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\) B. \(\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{21}=1\) C. \(\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\) D. \(\frac{{{x}^{2}}}{21}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\)

Lời giải

Gọi elip cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) với \(\left\{ \begin{align} & a,\,b,\,c>0 \\ & {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Tiêu điểm \(F\left( -2;0 \right)\Rightarrow c=2\)

Đỉnh \(A\left( 5;0 \right)\Rightarrow a=5\)

Có \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=25-4=21\Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{21}=1\)

Đáp án B.

Lưu ý: Với bài này bạn có thể giải bằng cách thử từng phương án tìm tiêu điểm và đỉnh rồi kiểm tra lại với giả thiết và kết luận

Ví dụ 5: Elip có phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) biết (E) có tâm sai là \(\frac{\sqrt{5}}{3}\); hình chữ nhật cơ sở có chu vi là 20. Khi đó giá trị a+2b là      A. 35                   B. – 5                        C. 7                          D. 8

Lời giải

Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) với \(\left\{ \begin{align} & a,b,c>0 \\ & {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.\)

Tâm sai của (E) là \(\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow c=\frac{\sqrt{5}}{3}a\,\left( 2 \right)\)

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 20 \(\Rightarrow 2.\left( 2a+2b \right)=20\Leftrightarrow a+b=5\Rightarrow b=5-a\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thế (2), (3) vào (1) \(\Rightarrow {{\left( 5-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}-\frac{5}{9}{{a}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=3 \\ & a=15 \\ \end{align} \right.\)

- Với \(a=3\Rightarrow b=2\) thỏa mãn \(\Rightarrow a+2b=27\) (đáp án C)

- Với \(a=15\Rightarrow b=-10\) (loại) do a,b,c>0

Đáp án C

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, elip (E) có tiêu cự bằng 12 và tâm sai \(e=\frac{3}{5}\). Cho các mệnh đề sau: (1) (E) có tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( -8;0 \right)\) và \({{F}_{2}}\left( 8;0 \right)\) (2) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 16. (3) (E) có đỉnh \({{A}_{2}}\left( -10;0 \right)\) Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai?      A. (1) và (2)         B. (2) và (3)              C. (1), (2) và (3)       D. (1) và (3)

Lời giải

(E) có tiêu cự bằng 12 \(\Rightarrow 2c=12\Rightarrow c=6\)

Tâm sai \(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow a=10\Rightarrow b=8\)

Vậy mệnh đề (1), (3) là mệnh đề sai

Đáp án D

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, elip \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{81}+\frac{{{y}^{2}}}{49}=1\). Tìm khẳng định đúng?      A. (E) có đỉnh \({{A}_{1}}\left( 9;0 \right)\) và \({{B}_{1}}\left( 0;-7 \right)\)      B. (E) có dộ dài trục bé bằng \(4\sqrt{2}\)      C. (E) có dộ dài trục lớn bằng 18      D. (E) có diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 63.

Lời giải

\(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{81}+\frac{{{y}^{2}}}{49}=1\Rightarrow a=9;\,\,b=7\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=4\sqrt{2}\)

Độ dài trục lớn là 2a=18

Đáp án C.

Bài 3: Tìm phương trình chính tắc của elip có tâm sai \(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\) và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. A. \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1\) B. \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=0\) C. \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\) D. \(\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1\)

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\,\left( a,b>0 \right)\)

Tâm sai \(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\,\,\left( 1 \right)\)

Hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 \(\Rightarrow 2\left( 2a+2b \right)=20\,\,\left( 2 \right)\)

Có \({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=2 \\ & c=\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\)

Đáp án C.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!