YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Ôn tập Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Ôn tập Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Toán 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 84 trang 130 SGK Toán 11 nâng cao

So sánh p và q, biết:

\(\begin{array}{l}
a){\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - q}}\\
b){\left( {\frac{8}{3}} \right)^{ - p}} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q}\\
c)0,{25^p} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2q}}\\
d){\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p - 2q}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - q}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^q} \Leftrightarrow p < q\) (vì \(\frac{2}{3} < 1\))

Câu b:

\({\left( {\frac{8}{3}} \right)^{ - p}} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{8}} \right)^p} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q} \Leftrightarrow p > q\) (vì \(\frac{3}{8} < 1\))

Câu c:

\(0,{25^p} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2q}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{4}} \right)^p} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^q} \Leftrightarrow p > q\) (vì \(\frac{1}{4} < 1\))

Câu d:

\({\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p - 2q}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{7}{2}} \right)^{2q - p}} \Leftrightarrow p < 2q - p\) (vì \(\frac{7}{2} > 1\))

\(\Leftrightarrow 2p < 2q \Leftrightarrow p < q\)


Bài 85 trang 130 SGK Toán 11 nâng cao

Cho x < 0. Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}}  = \frac{{1 - {2^x}}}{{1 + {2^x}}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{4}{({2^x} - {2^{ - x}})^2} = \frac{1}{4}(4 + {4^x} - 2 + {4^{ - x}})\\
 = \frac{1}{4}({4^x} + 2 + {4^{ - x}}) = \frac{1}{4}{({2^x} + {2^{ - x}})^2}
\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}}  = \sqrt {\frac{{ - 1 + \frac{1}{2}({2^x} + {2^{ - x}})}}{{1 + \frac{1}{2}({2^x} + {2^{ - x}})}}} \\
 = \sqrt {\frac{{{2^x} - 2 + {2^{ - x}}}}{{{2^x} + 2 + {2^{ - x}}}}}  = \sqrt {\frac{{{2^x} - 2 + \frac{1}{{{2^x}}}}}{{{2^x} + 2 + \frac{1}{{{2^x}}}}}}  = \sqrt {\frac{{{4^x} - {{2.2}^x} + 1}}{{{4^x} + {{2.2}^x} + 1}}} \\
 = \sqrt {\frac{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}}}  = \frac{{1 - {2^x}}}{{1 + {2^x}}}
\end{array}\)

(vì x < 0 thì 2x < 1)


Bài 86 trang 130 SGK Toán 11 nâng cao

Tính 

\(\begin{array}{l}
a)A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}\\
b)B = lo{g_a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)\\
c)C = {\log _5}{\log _5}\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{....\sqrt[5]{5}}}}}}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Áp dụng \({\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = \frac{\beta }{\alpha }{\log _a}b\)  (với 00 và 1) và \({a^{lo{g_a}b}} = b\)

Ta có: \(\begin{array}{l}
2{\log _3}4 + 4{\log _{81}}2 = \frac{4}{2}lo{g_3}4 + 2lo{g_9}2\\
 = {\log _9}{4^4} + {\log _9}{2^2} = {\log _9}{2^{10}}
\end{array}\)

Do đó: \(A = {9^{lo{g_9}{2^{10}}}} = {2^{10}} = 1024\)

Câu b:

Ta có:

\(\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = {a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{173}}{{60}}}}\)

Do đó: \(B = lo{g_a}{a^{\frac{{173}}{{60}}}} = \frac{{173}}{{60}}\)

Câu c:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{....\sqrt[5]{5}}}}}}} = {5^{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}} \Rightarrow {\log _5}\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{....\sqrt[5]{5}}}}}}} = {5^{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}} = {5^{ - n}}\\
 \Rightarrow C =  - n
\end{array}\)


Bài 87 trang 130 SGK Toán 11 nâng cao

Chứng minh rằng \({\log _2}3 > {\log _3}4\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\log _2}3 > {\log _3}4 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_3}2}} > lo{g_3}4 \Leftrightarrow lo{g_2}.lo{g_3}4 < 1\) (vì \({\log _3}2 > 0\))

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {lo{g_3}2.lo{g_3}4}  < \frac{1}{2}(lo{g_3}2 + lo{g_3}4) = \frac{1}{2}lo{g_3}8 < \frac{1}{2}lo{g_3}9 = 1\\
 \Rightarrow lo{g_3}2.lo{g_3}4 < 1(dpcm)
\end{array}\)


Bài 88 trang 130 SGK Toán 11 nâng cao

Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:\(lo{g_{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{1}{{loga(b + c)}} + \frac{1}{{lo{g_a}(c - b)}} = \frac{2}{{lo{g_a}(b + c).lo{g_a}(c - b)}}\\
 \Leftrightarrow lo{g_a}(c - b) + lo{g_a}(b + c) = 2\\
 \Leftrightarrow lo{g_a}(c - b)(b + c) = 2\\
 \Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2}
\end{array}\)

Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có a2 + b2 = c2 từ đó suy ra đpcm.


Bài 89 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\) thỏa hệ thức \(xy\prime  + 1 = {e^y}\)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x > -1. 

Ta có: \(y =  - ln(1 + x) \Rightarrow y\prime  = \frac{{ - 1}}{{1 + x}}\)

Khi đó: \(xy\prime  + 1 = \frac{{ - x}}{{1 + x}} + 1 = \frac{1}{{1 + x}} = {e^{ln\frac{1}{{1 + x}}}} = {e^y}\)

Vậy \(xy\prime  + 1 = {e^y}\)


Bài 90 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}}}{{ln2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Hướng dẫn giải:

\(x = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{{\ln 2}}\)

Tọa độ điểm \(A\left( {0;\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\)

Vậy \(OA = \frac{1}{{\ln 2}}\)

Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 }}{{\ln 2}} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{1}{2}x \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}}\)

Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành \(B\left( {\frac{{ - 2}}{{ln2}};0} \right) \Rightarrow OB = \frac{2}{{\ln 2}}\)

Vậy \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{{ln2}}.\frac{2}{{ln2}} = \frac{1}{{l{n^2}2}} \approx 2,081\)


Bài 91 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y = logax. Trong hai khẳng định a > 1 và 0 < a < 1, khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?

a) M có tọa độ (0,5; -7)

b) M có tọa độ (0,5; 7)

c) M có tọa độ (3; 5,2)                 

d) M có tọa độ (3; -5,2).

Hướng dẫn giải:

Gọi (C) là đồ thị hàm số y = logax

Câu a:

M ∈ (C) nên \({\log _a}0,5 =  - 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2} = {a^{ - 7}} \Leftrightarrow {a^7} = 2 \Leftrightarrow a = \sqrt[7]{2}\)
Vậy a > 1

Câu b:

M(0, 5 ; 7) ∈ (C) nên \(lo{g_a}0,5 = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2} = {a^7} \Leftrightarrow {a^7} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt[7]{{\frac{1}{2}}}\)
Vậy 0 < a < 1

Câu c:

M(3; 5,2) ∈ (C) nên \(lo{g_a}3 = 5,2 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = 3 \Leftrightarrow a = {3^{\frac{1}{{5,2}}}} > 1\)
Vậy a > 1

Câu d:

M(3; −5,2) ∈ (C)

\({\log _a}3 =  - 5,2 \Leftrightarrow {a^{ - 5,2}} = 3 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = \frac{1}{{{3^{5,2}}}}\)

Vậy 0 < a < 1


Bài 92 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức: \(P(t) = 100.{(0,5)^{\frac{1}{{5750}}}}(\% )\)

Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài ta có phương trình: 

\(\begin{array}{l}
P(t) = 65 \Leftrightarrow 100{(0,5)^{\frac{1}{{5750}}}} = 65 \Leftrightarrow lo{g_{0,5}}100 + \frac{1}{{5750}} = lo{g_{0,5}}65\\
 \Leftrightarrow t = 5750log\frac{{0,565}}{{100}} = \frac{{ln0,65}}{{ln0,5}}.5750 \approx 3574
\end{array}\)

Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 3574 năm.


Bài 93 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}
a){32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\\
b){5^{x - 1}} = {10^x}{.2^{ - x}}{.5^{x + 1}}\\
c){4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}}\\
d){3^{4x + 8}} - {4.3^{2x + 5}} + 28 = 2lo{g_2}\sqrt 2 .
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{5(x + 5)}}{{x - 7}}}} = \frac{1}{4}{.2^{\frac{{7(x + 17)}}{{x - 3}}}}\\
 \Leftrightarrow {2^{\frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}}}} = {2^{\frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}} - 2}} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}} = \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}} - 2\left( 1 \right)
\end{array}\)

Điều kiện \(x \ne 3; x \ne 7.\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 7\left( {x + 17} \right)\left( {x - 7} \right) - 2\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow 80x = 800 \Leftrightarrow x = 10\) (nhận)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{5^{x - 1}} = {10^x}{.2^{ - x}}{.5^{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{5}{.5^x} = \frac{{{{10}^x}}}{{{2^x}}}{.5.5^x} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = {5^x}.5\\
 \Leftrightarrow {5^x} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow x =  - 2
\end{array}\)

Vậy S = {-2}

Câu c:

\(\begin{array}{l}
{4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}} \Leftrightarrow {4^x} + \frac{1}{2}{.4^x} = {3^{x - 0,5}} + {3^{x + 0,5}}\\
 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{.4^x} = {3^{x - 0,5}}\left( {1 + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{4^{x - 1}} = {3^{x - 1,5}}\\
 \Leftrightarrow {4^{x - 1,5}} = {3^{x - 0,5}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{x - 1,5}} = 1 \Leftrightarrow x - 1,5 = 0\\
 \Leftrightarrow x = 1,5
\end{array}\)

Vậy S = [1,5}

Câu d:

Đặt \(t = {3^{2x + 4}} \left( {t > 0} \right)\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 12t + 28 = 1 \Leftrightarrow {t^2} - 12t + 27 = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 9\\
t = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^{2x + 4}} = 9\\
{3^{2x + 4}} = 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + 4 = 2\\
2x + 2 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x =  - \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \frac{3}{2}; - 1} \right\}\)


Bài 94 trang 131 SGK Toán 11 nâng cao

\(\begin{array}{l}
a)lo{g_3}(log_{0,5}^2x - 3lo{g_{0,5}}x + 5) = 2\\
b)lo{g_2}({4.3^x} - 6) - lo{g_2}({9^x} - 6) = 1\\
c)1 - \frac{1}{2}log(2x - 1) = \frac{1}{2}log(x - 9)\\
d)\frac{1}{6}lo{g_2}(x - 2) - \frac{1}{3} = lo{g_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x - 5} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
lo{g_3}(log_{0,5}^2x - 3lo{g_{0,5}}x + 5) = 2\\
 \Leftrightarrow log_{0,5}^2x - 3lo{g_{0,5}}x + 5 = 9\\
 \Leftrightarrow log_{0,5}^2x - 3lo{g_{0,5}}x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
lo{g_{0,5}}x =  - 1\\
lo{g_{0,5}}x = 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {(0,5)^{ - 1}} = 2\\
x = {(0,5)^4} = \frac{1}{{16}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}\)

Câu b:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\log _2}({4.3^x} - 6) - {\log _2}({9^x} - 6) = 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}({4.3^x} - 6) = {\log _2}2(9x - 6)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{9^x} - 6 > 0}\\
{{{4.3}^x} - 6 = 2({9^x} - 6)}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t > \sqrt 6 \,\,\left( {t = {3^x}} \right)\\
2{t^2} - 4t - 6 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1}
\end{array}\)

Vậy S = {1}

Câu c:

Điều kiện: x > 9

\(\begin{array}{l}
1 - \frac{1}{2}log(2x - 1) = \frac{1}{2}log(x - 9) \Leftrightarrow 2 = log(2x - 1) + log(x - 9)\\
 \Leftrightarrow log(2x - 1)(x - 9) = 2 \Leftrightarrow (2x - 1)(x - 9) = 100\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 19x - 91 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 13\\
x =  - 3,5\left( L \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy x = 13

Câu d:

Điều kiện x > 2

Ta có: \({\log _{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x - 5}  = {\log _{{2^{ - 3}}}}{\left( {3x - 5} \right)^{\frac{1}{2}}} =  - \frac{1}{6}{\log _2}\left( {3x - 5} \right)\)

Phương trình đã có trở thành:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{6}{\log _2}\left( {x - 2} \right) + \frac{1}{6}{\log _2}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{3}\\
 \Leftrightarrow lo{g_2}(x - 2)(3x - 5) = 2\\
 \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 5) = 4
\end{array}\)

<=> x = 3 hoặc x = 2/3

Với điều kiện x > 2 ta chỉ nhận nghiệm x = 3.
Vậy S = {3}


Bài 95 trang 132 SGK Toán 11 nâng cao

Giải phương trình: \({4^x} - {3^x} = 1\)

Hướng dẫn giải:

Chia hai vế phương trình cho 4x ta được:

\(1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = 1\)

Rõ ràng x = 1 là nghiệm phương trình:

Với x > 1 ta có: \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} < \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)

Với x < 1 ta có: \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}>< \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)

Vậy S = {1}


Bài 96 trang 132 SGK Toán 11 nâng cao

Giải các hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
lo{g_2}(x - y) = 5 - lo{g_2}(x + y)\\
\frac{{logx - log4}}{{logy - log3}} =  - 1
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
2lo{g_2}x - {3^y} = 15\\
{3^y}.lo{g_2}x = 2lo{g_2}x + {3^{y + 1}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0;y > 0\\
x - y > 0;x + y > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > y > 0\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
lo{g_2}(x - y) = 5 - lo{g_2}(x + y)\\
\frac{{logx - log4}}{{logy - log3}} =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
lo{g_2}(x - y) + lo{g_2}(x + y) = 5\\
log\frac{x}{4} =  - log\frac{y}{4}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
lo{g_2}({x^2} - {y^2}) = 5\\
log\frac{{xy}}{{12}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 32\\
xy = 12
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải hệ bằng phương pháp thế ta được x = 6, y = 2
Vậy S = {(6;2)}

Câu b:

Điều kiện: x > 0.

Ta có nghiệm phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
2u - v = 15(1)\\
u.v = 2u + 3v(2)
\end{array} \right.\)

Từ (1) suy ra v = 2u – 15, thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
u(2u - 15) = 2u + 3(2u - 15) \Leftrightarrow 2{u^2} - 23u + 45 = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 9 \Rightarrow v = 3\\
u = \frac{5}{2} \Rightarrow v =  - 10(L)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 9\\
v = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
log_2^x = 9\\
{3^y} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {2^5} = 512\\
y = 1
\end{array} \right.\)

Vậy S={(512;1)}


Bài 97 trang 132 SGK Toán 11 nâng cao

Giải các bất phương trình sau: 

\(\begin{array}{l}
a)\frac{{1 - lo{g_4}x}}{{1 + lo{g_2}x}} < \frac{1}{2}\\
b)lo{g_{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}({6^{x + 1}} - {36^x}) \ge  - 2\\
c)lo{g_{\frac{1}{5}}}({x^2} - 6x + 18) + 2lo{g_5}(x - 4) < 0
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\log _4}x = \frac{1}{2}{\log _2}x\)

Đặt  \(t = {\log _2}x\)

Ta có: 

\(\frac{{1 - \frac{1}{2}t}}{{1 + t}} - \frac{1}{2} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - t - 1 - t}}{{2(1 + t)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - 2t}}{{1 + t}} \le 0\)

<=> t < -1 hoặc \(t \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow lo{g_2}x <  - 1\) hoặc \(lo{g_2}x \ge \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{1}{2}\) hoặc \(x \ge \sqrt 2 \)

Vậy \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có: 

\(lo{g_{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}({6^{x + 1}} - {36^x}) \ge  - 2\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 0 < {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ - 2}} = 5\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{6.6^x} - {36^x} > 0\\
{6.6^x} - {36^x} \le 5
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đặt  t = 6x (t > 0). Ta có hệ:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6t - {t^2} > 0\\
{t^2} - 6t + 5 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < t < 6\\
t \le 1,t \ge 5
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 < t \le 1\\
5 \le t < 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} \le 1\\
5 \le {6^x} < 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le 0\\
lo{g_6}5 \le x < 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)

Câu c:

Điều kiện 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 18 > 0\\
x - 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4\\
lo{g_{\frac{1}{5}}}({x^2} - 6x + 18) + 2lo{g_5}(x - 4) < 0\\
 \Leftrightarrow lo{g_5}{(x - 4)^2} < lo{g_5}({x^2} - 6x + 18)\\
 \Leftrightarrow {(x - 4)^2} < {x^2} - 6x + 18 \Leftrightarrow x > 1
\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có x > 4
Vậy \(S = (4; + \infty )\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Ôn tập Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

YOMEDIA