Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 4 Số e và logarit tự nhiên

Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có: \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\) và \(\ln \left( {2e} \right) = lne + lne = 1 + 1 = 2\)

Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà e ≠ 0 nên e=2!

Hướng dẫn giải:

Sai từ ln(2e)=ln(e+e)=lne+lne

Không có kết quả: ln(x+y)=lnx+lny. (Sai)

---

\(\ln 500;\ln \frac{{16}}{{25}};ln6,25;ln\frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
ln500 = ln({2^2}{.5^3}) = 2ln2 + 3ln5 = 2a + 3b;\\
\ln \frac{{16}}{{25}} = \ln \left( {{2^4}{{.5}^{ - 2}}} \right) = 4\ln 2 - 2\ln 5 = 4a - 2b;\\
ln6,25 = ln({5^2}.0,{5^2}) = 2ln5 + 2ln0,5 = 2ln5 - 2ln2 = 2b - 2a;\\
ln\frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}\\
 =  - \ln 100 =  - \ln \left( {{2^2}{{.5}^2}} \right) =  - 2\ln 2 - 2\ln 5 =  - 2a - 2b
\end{array}\)

---

Chứng minh \(\frac{7}{{16}}ln(3 + 2\sqrt 2 ) - 4ln(\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}ln(\sqrt 2  - 1) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{7}{{16}}ln(3 + 2\sqrt 2 ) - 4ln(\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}ln(\sqrt 2  - 1)\\
 = \frac{7}{{16}}ln{(\sqrt 2  + 1)^2} - 4ln(\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}ln\frac{1}{{\sqrt 2  + 1}}\\
 = \frac{7}{8}ln(\sqrt 2  + 1) - 4ln(\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}ln\frac{1}{{\sqrt 2  + 1}} = 0
\end{array}\)

---

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Hướng dẫn giải:

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này. Từ giả thiết 

S = A.ert, suy ra

\(\begin{array}{l}
r = \frac{1}{5}\left( {\ln \frac{{300}}{{100}}} \right) = \frac{{\ln 300 - \ln 100}}{5}\\
r = \frac{{\ln 300 - \ln 100}}{5} = \frac{{\ln 3}}{5} \approx 0,2197
\end{array}\)

Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ.
Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có: 100.e^10.0,2197 ≈ 900(con).
Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là

\(t = \frac{1}{r}\ln \frac{S}{A} = \frac{{\ln S - \ln A}}{r}\)

\(t \approx \frac{{ln200 - ln100}}{{0,2197}} = \frac{{ln2}}{{0,2197}} \approx 3,15\) (giờ) = 3 giờ 9 phút

---

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S=A.e^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Hướng dẫn giải:

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm của Pu239

Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm , do đó ta có: \(5 = 10.{e^{r.24360}}\)

Suy ra: \(r = \frac{{ln5 - ln10}}{{24360}} \approx  - 2,{84543.10^{ - 5}} \approx  - 0,000028\)

Vậy sự phân hủy của Pu239 được tính theo công thức: \(S = A.{e^{ - 0,000028t}}\)
Trong đó S và A tính bằng gam, t tính bằng năm.
Theo bài ra, ta có: \(1 = 10.{e^{ - 0,000028t}}\)
Suy ra: \(t = \frac{{ - \ln 10}}{{ - 0,000028}} \approx 82235\) (năm).
Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam chất Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 4 Số e và logarit tự nhiên được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!