Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 3 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ

Chứng ming rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.

Hướng dẫn giải:

Xét mặt tròn xoay (H) có trục là Δ. Mọi mặt phẳng (P) đi qua Δ đều là mặt phẳng đối xứng của (H). Thật vậy, nếu M ∈ (H) và M′ là điểm đối xứng với M qua mp (P) thì M′ cũng nằm trên đường tròn (C_M) nên M′ ∈ (H).

---

Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay:

a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Hướng dẫn giải:

a) Hình trụ.

b) Khối trụ.

---

Cho đường tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.

Hướng dẫn giải:

Gọi Δ là trục của đường tròn (O; R). Hình chiếu M′ của M nằm trên (O; R) thì MM′ // Δ và khoảng cách từ M tới Δ bằng MO′ = R.

Vậy tập hợp các điểm M là hình trụ có trục là Δ và có bán kính bằng R.

---

Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Hướng dẫn giải:

 

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d.

Gọi Δ là đường thẳng đi qua O và song song với d. Nếu d′ là tiếp tuyến của mặt cầu và d′ // d thì d′ cách Δ một khoảng không đổi R. Vậy d′ nằm trên mặt trụ có trục Δ và có bán kính bằng R.

---

Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ.

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng đi qua OO′ của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2R, do đó bán kính đáy bằng R và đường sinh AD = 2R.

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2\pi .R.2R = 4\pi {R^2}\\
{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}
\end{array}\)

Câu b:

Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\)

Câu c:

Hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ là hình lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2R và có đáy là hình vuông cạnh \(R\sqrt 2 \) nên có thể tích \({V_{LT}} = 2{R^2}.2R = 4{R^3}\)

---

Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao \(R\sqrt 3 \)

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tình thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30⁰. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\pi {R^2}\)

Câu b:

Thể tích của khối trụ \(V = \pi {R^2}.R\sqrt 3  = \sqrt 3 \pi {R^3}\)

Câu c:

Gọi O và O′ là tâm của hao đường tròn đáy.

Kẻ AA′ // OO′ (A’ nằm trên đáy dưới hình trụ)

Ta có: \(O\prime A\prime  = R,AA\prime  = R\sqrt 3 ,\,\widehat {BAA'} = {30^0}\)

Vì OO′ // (ABA′) nên khoảng cách giữa OO′ và AB bằng khoảng cách giữa OO′ và (ABA′)

Kẻ OH ⊥ A′B thì H là trung điểm của A′B (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) và O′H ⊥ (ABA′).

Trong tam giác vuông AA′B ta có: 

\(tan{30^0} = \frac{{AB\prime }}{{AA\prime }} \Rightarrow AB\prime  = AA\prime .tan{30^0} = R\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = R\)

Vậy tam giác BA′O′ là tam giác đều cạnh R nên \(O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 3 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!