Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình y = m (m ≠ 0);

b) Đường thẳng có phương trình x = m²+1 song song với trục Oy;

c) Phương trình y = kx+b là phương trình của đường thẳng;

d) Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng y = kx+b;

e) Đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) có phương trình xa+yb = 1

Hướng dẫn giải:

a) Đúng                                     

b) Đúng

c) Đúng                                    

d) Sai

e) Sai

---

Viết phương trình tổng quát của:

a) Đường thẳng Ox;

b) Đường thẳng Oy;

c) Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và song song với Ox;

d) Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và vuông góc với Ox;

e) Đường thẳng OM, với M(x₀;y₀) khác điểm O.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng Ox đi qua O(0,0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

0.(x−0) +1.(y−0) = 0 ⇔ y = 0          

Câu b:

Đường thẳng Oy đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

1.(x−0)+0.(y−0) = 0 ⇔ x = 0          

Câu c:

Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và song song với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

0.(x−x₀)+1.(y−y₀) = 0 ⇔ y−y₀ = 0, (y₀ ≠ 0)

Câu d:

Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và vuông góc với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

1.(x−x₀)+0.(y−y₀)=0 ⇔ x−x₀ = 0,(x0 ≠ 0)

Câu e:

\(\overrightarrow {OM}  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nên đường thẳng OM có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: .

Phương trình tổng quát của đường thẳng OM là:

y₀(x−0)−x₀(y−0) = 0 ⇔ y₀x−x₀y = 0

---

Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,BC,CA là

AB: 2x−3y−1 = 0; BC: x+3y+7 = 0; CA: 5x−2y+1 = 0. 

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.

Hướng dẫn giải:

 

Hai đường thẳng AB, BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 1 = 0\\
x + 3y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - \frac{5}{3}
\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( { - 2; - \frac{5}{8}} \right)\)

Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 2} \right)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;5} \right)\)

Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;5} \right)\) của CA làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - \frac{5}{8}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {2;5} \right)\) là:

\(2\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + \frac{5}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + \frac{{37}}{3} = 0\)

---

Cho hai điểm P(4;0),Q(0;−2).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(3;2)và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm  A(3;2) và song song với đường thẳng PQ

Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 4; - 2} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n\) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta chọn \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\)

Δ song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của Δ.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua A(3, 2) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) là:

1.(x−3)−2(y−2) = 0 ⇔ x−2y+1 = 0

Câu b:

Gọi I(x_I;y_I) là trung điểm của PQ

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_P} + {x_Q}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_P} + {y_Q}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\\
{y_I} = \frac{{0 + \left( { - 2} \right)}}{2} =  - 1
\end{array} \right.\)

Vậy I(2;−1)

Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ

Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ

Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2,1) và nhận \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là:

−4.(x−2)−2.(y+1) = 0 ⇔ −4x−2y+6 = 0

⇔ 2x+y−3 = 0 

---

Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\). Gọi N(x_N;y_N) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_O} + {x_N}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_O} + {y_N}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4\\
{y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2
\end{array} \right.\)

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

1.(x−4)−1.(y−1) = 0 ⇔ x−y−2 = 0

Câu b:

Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; 1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là:

1.(x−2)+1.(y−1) = 0 ⇔ x+y−3 = 0

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x + y - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
y = \frac{3}{2}
\end{array} \right.\)

Vậy \(M'\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

---

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng

a) 2x−5y+3 = 0 và 5x+2y−3 = 0;

b) x−3y+4 = 0 và 0,5x−1,5y+4 = 0;

c) 10x+2y−3 = 0 và 5x+y−1,5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\frac{2}{5} \ne \frac{{ - 5}}{2}\) nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 5y =  - 3\\
5x + 2y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{{29}}\\
y = \frac{{21}}{{29}}
\end{array} \right.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(A\left( {\frac{9}{{29}};\frac{{21}}{{29}}} \right)\)

Câu b:

Ta có: \(\frac{1}{{0,5}} =  - \frac{3}{{ - 1,5}} \ne \frac{4}{4}\) nên hai đường thẳng đã cho song song.

Câu c:

Ta có: \(\frac{{10}}{5} = \frac{2}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1,5}}\) nên hai đường thẳng đã cho trùng nhau.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 1 Phương trình tổng quát của đường thẳng bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.