Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Thạch Hà có đáp án

 

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ   ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút

 

Câu 1:

      a. Tính giá trị của đa thức \(f(x) = {({x^4} - 3x + 1)^{2016}}\) tại \(x = 9 - \frac{1}{{\sqrt {\frac{9}{4} - \sqrt 5 } }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{9}{4} + \sqrt 5 } }}\)

      b. So sánh \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) và  \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

      c. Tính giá trị biểu thức: \(\sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cot x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \tan x}}\)  với  \({0^0} < x < {\rm{ }}{90^0}\)

      d.  Biết \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: \(\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} =  - 9 - 20\sqrt 5 \)

Câu 2: Giải các phương trình sau:

      a. \(\frac{3}{{x - 3}} - \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} - \frac{{x - 3}}{3}\)

      b.  \({x^{\rm{2}}} - 5x + 8 = 2\sqrt {x - 2} \)

Câu 3:

      a. Cho đa thức \(P\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^3} + {\rm{ }}b{x^2} + {\rm{ }}cx{\rm{ }} + {\rm{ }}d\) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

     b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

      c. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n⁴ + 4ⁿ  là hợp số.

Câu 4:

1. Chứng minh rằng  \[\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge a{b^3} + {a^3}b - {a^2}{b^2}\]
2. Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a  +  b  +  1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{b  +  c  +  1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{c  +  a  +  1}}}}{\rm{ =  2}}\)

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

Câu 5: Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F

1. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
2. Giả sử HD = \(\frac{1}{3}\)AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
3. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà:

Câu 1:

a)

\(x = 9 - \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5  - 2}}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5  + 2}}} \right)}^2}} \)

\( = 9 - \frac{2}{{\sqrt 5  - 2}} + \frac{2}{{\sqrt 5  + 2}} = 9 - \frac{{2\sqrt 5  + 4 - 2\sqrt 5  + 4}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = 9 - 8 = 1\)

\(f(x) = f(1) = 1\)

b)

Ta có \(\sqrt {{{2015}^2} - 1}  - \sqrt {{{2014}^2} - 1}  = \frac{{(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} )(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} )}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{({{2015}^2} - 1) - ({{2014}^2} - 1)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{{{2017}^2} - {{2016}^2}}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{(2017 - 2016)(2017 + 2016)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{2017 + 2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

Vậy \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1}  > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)  

c)

\(\sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)

\( = \sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}} + \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{\rm{1 + sinx}}}}\)

\( = \sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}} = \sin x.\cos x + \frac{{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}}\)

\( = \sin x.\cos x + 1 - \sin x.\cos x = 1\)

d)

ĐK: \({\rm{ a}} \ne  \pm b\sqrt 5 \) (*)

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} =  - 9 - 20\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow 2(a - b\sqrt 5 ) - 3(a + b\sqrt 5 ) =  - (9 + 20\sqrt 5 )(a + b\sqrt 5 )(a - b\sqrt 5 )\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} - 45{b^2} - a = \sqrt 5 ( - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b)  (*)\)

Ta thấy (*) có dạng \(A = B\sqrt 5 \) trong đó A, B \( \in Q\), nếu \(B \ne 0\,thi\,\sqrt 5  = \frac{A}{B} \in I\) vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 9{a^2} + 45{b^2} + \frac{9}{4}b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\a = \frac{9}{4}b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{4}b\\{b^2} - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\,hoac\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

 

Trên đây là một phần trích lời giải của đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Hoc247.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.