Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Hướng dẫn giải chi tiết
a)
Hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy là (O; r). Lấy điểm M trên (O; r) thì ΔSOM vuông tại O.
SO là trục của đường tròn (O; r) nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi I thuộc SO và cách đều hai điểm S, M. Vậy I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SM. Mặt cầu tâm I bán kính R = IS là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b)
Kẻ đường kính SS′ của mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS′ > h)
ΔMSS′ vuông tại M có đường cao MO = r.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
M{O^2} = OS.OS\prime \Rightarrow {r^2} = h(SS\prime - h)\\
\Rightarrow SS\prime = \frac{{{r^2}}}{h} + h = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}
\end{array}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón:
\(R = \frac{1}{2}SS\prime = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\)
c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu bán kính R thì theo câu b) ta có hệ thức r2 = h(2R−h).
Vậy \(r = \sqrt {h(2R - h)} \)
Độ dài đường sinh:
\(l = SM = \sqrt {SO.SS\prime } = \sqrt {2R.h} \)
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h(2R - h)} .\sqrt {2Rh} \\
= \pi h\sqrt {2R(2R - h)}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Cho ba điểm \(A, B, C\) cùng thuộc một mặt cầu và cho biết \(\widehat {ACB} = 90^0\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
bởi Huy Hạnh 06/06/2021
a) Đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) nằm trên mặt cầu.
b) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu đã cho.
c) \(AB\) không phải là đường kính của mặt cầu.
d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.
bởi lê Phương 06/06/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(r = OA\) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
bởi Phạm Khánh Linh 06/06/2021
Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(r = OA\) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Theo dõi (0) 1 Trả lời