ADMICRO
VIDEO

Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a)

Hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy là (O; r). Lấy điểm M trên (O; r) thì ΔSOM vuông tại O.

SO là trục của đường tròn (O; r) nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi I thuộc SO và cách đều hai điểm S, M. Vậy I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SM. Mặt cầu tâm I bán kính R = IS là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b)

Kẻ đường kính SS′ của mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS′ > h)

ΔMSS′ vuông tại M có đường cao MO = r.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{O^2} = OS.OS\prime  \Rightarrow {r^2} = h(SS\prime  - h)\\
 \Rightarrow SS\prime  = \frac{{{r^2}}}{h} + h = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}
\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón: 

\(R = \frac{1}{2}SS\prime  = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\)

c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu bán kính R thì theo câu b) ta có hệ thức r2  = h(2R−h).

Vậy \(r = \sqrt {h(2R - h)} \)

Độ dài đường sinh: 

\(l = SM = \sqrt {SO.SS\prime }  = \sqrt {2R.h} \)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h(2R - h)} .\sqrt {2Rh} \\
 = \pi h\sqrt {2R(2R - h)} 
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON