Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 6: Cấp số cộng

Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tinh tổng số ghế của nhà hát đó.

Cho dãy số (\(u_n\)) gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng un−1

Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n\)=−2n+3. Chứng minh rằng (\(u_n\)) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Cho cấp số cộng (\(u_n\)) với số hạng đầu \(u_1\) và công sai d

a) Tính các số hạng u₂,u₃,u₄,u₅ theo u₁ và d

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát un theo u₁ và d

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n\)=4n−3. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát u_n dưới dạng un=u₁+(n+1)d

Cho cấp số cộng (\(u_n\)) với số hạng đầu \(u_1\) và công sai d

Để tính tổng của n số hạng đầu 

S_n=u₁+u₂+...+u_n−1+u_n 

Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng S_n theo số hạng đầu u₁ và công sai d

b) Viết S_n theo thứ tự ngược lại: S_n=u1+u2+...+un−1+un  và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo u₁ và d

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính S_n theo u₁ và d

Anh Nam được nhận vào làm iệc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, -1, -3, -5, ...

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (\(u_n\)) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n=u₁+(n−1)d

a) u_n=3+5n

b) u_n=6_n−4

c) u₁=2,u_n=u_n−1+n

d) u₁=2,u_n=u_n−1+3

Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này

Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở đằng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiếu bao nhiêu hàng ghế?

Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1.2 triệu người. Giả sử mõi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030

Mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) \({u_n} = 4 - 3n\);

b) \({u_n} = {n^2} + 1;\);

c) \({u_n} = 2n + 5\);

d) \({u_1} = 3,{u_{n + 1}} = {u_n} + n\).

Tìm số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39.

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

b) Tìm hệ thức truy hồi cho cấp số cộng.

c) Tìm công thức số hạng thứ n của cấp số cộng.

Tổng của 20 số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 650. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng này?

Tìm x để \(2x,3x + 2\) và \(5x + 3\) là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng?

Phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là 78 và công sai là \( - 4\) để được tổng là 702?

Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2,4m ở đáy và rộng 1,2m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước \(10cm \times 10cm\) phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường?

Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.

a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?

b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài có 2 040 chỗ ngồi, hàng đầu tiên có 10 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Nếu anh Nam nhận lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35 000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1 400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la?

Nếu p, m và q lập thành một cấp số cộng thì dễ thấy \(m = \frac{{p + q}}{2}\). Số m gọi là trung bình cộng của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác \({m_1},{m_2},...,{m_k}\) sao cho \(p,{m_1},{m_2},...,{m_k},q\) lập thành một cấp số cộng, chúng ta nói rằng ta đã “chèn k trung bình cộng vào giữa p và q”.

a) Hãy chèn ba trung bình cộng vào 4 và 12.

b) Tìm bốn trung bình cộng nằm giữa 16 và 91