Giải bài tập SGK Bài 2 Chương 4 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim} \ \frac{x+1}{3x - 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Cho hàm số \(f(x) =\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+1; &x\geq 0 \\ 2x;& x <0 \end{matrix}\right.\)

và các dãy số \((u_n)\) với  \(u_n =\frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n = -\frac{1}{n}\).

Tính \(lim u_n, lim v_n, lim f (u_n)\)và \(lim (v_n).\)

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0 ?

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim} \frac{x^{2 }-1}{x+1}\);

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim} \frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);

d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} \frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} \frac{17}{x^{2}+1}\);

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} \frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{2x -7}{x-1}\).

Cho hàm số  \(f(x) =\frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như hình dưới đây:

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x \rightarrow -\infty\)

\(x \rightarrow 3^-\) và \(x \rightarrow 3^+\).

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f(x)\) với f(x) được xét trên khoảng (-3; -3),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}f(x)\) với f(x) được xét trên khoảng (-3,3),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}f(x)\) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3).

Tính:

a) \(\lim_{+\infty } (x^4 - x^2 + x - 1)\) ;

b) \(\lim_{-\infty } (-2x^3 + 3x^2 -5 )\);

c) \(\lim_{-\infty } \sqrt{x^2-2x+5}\)

d) \(\lim_{+\infty } \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}\)

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính. Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}.\)

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d' = f(d).

b) Tìm \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{lim}φ(d)\), \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}φ(d)\) và \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x + 3}}{{3 - x}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0\\
{x^2} - 1,\,\,x < 0
\end{array} \right.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

b) Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

a) Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi \(x \to  + \infty \)$.$

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng \(( - \infty ;a)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x).g(x) = L.M\).

Tìm giới hạn của các hàm số sau

a) \(f(x) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\) khi \(x\to 3\)

b) \(h(x) = \frac{{2{x^3} + 15}}{{{{(x + 2)}^2}}}\) khi \(x\to -2\)$\mathrm{}$

c) \(k(x) = \sqrt {4{x^2} - x + 1} \) khi \(x \to  - \infty \)

d) \(h(x) = \frac{{x - 15}}{{x + 2}}\) khi \(x \to  - {2^ + }\) và \(x \to  - {2^ - }\)