Ôn tập Toán 11 Chương 4 Giới hạn

Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 4

A. Tóm tắt lý thuyết 

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1:

Ta nói rằng dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ \, hay \, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to 0{\rm{ \, khi\, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Định nghĩa 2:

Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là a  hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (\(n \to  + \infty \)), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0.{\rm{ }}\)Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = a{\rm{ \, hay\, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to a{\rm{ \, khi \, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right)\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

\(\lim \frac{1}{n} = 0{\rm{ }},{\rm{ lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{k}}}}} = 0{\rm{ , n}} \in \mathbb{Z}_ + ^*\)

\(\lim \left( {{q^n}} \right) = 0{\rm{  }}\) với \(\left| q \right| < 1\).

Lim (un) = c (c là hằng số) => Lim(un) = limc = c.

Một số định lý về giới hạn của dãy số:

Định lý 1: Cho dãy số (un), (vn) và (wn) có : \({{\rm{v}}_{\rm{n}}} \le {u_n} \le {w_n}{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\lim \left( {{v_n}} \right) = \lim \left( {{w_n}} \right) = a{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{lim}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right) = a\).

Định lý 2: Nếu lim (un) = a , lim (vn) = b thì:

                                                \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right) \pm \lim \left( {{v_n}} \right) = a \pm b\)

                                                \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = a.b\)

                                                \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim \left( {{u_n}} \right)}}{{\lim \left( {{v_n}} \right)}} = \frac{a}{b}{\rm{ ,}}\left( {{{\rm{v}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};b \ne 0} \right)\)

                                                \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt {\lim \left( {{u_n}} \right)}  = \sqrt a {\rm{ ,}}\left( {{u_n} \ge 0{\rm{ ,a}} \ge {\rm{0}}} \right)\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với \(\left| q \right| < 1.\)

                                    \(\lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

3. Dãy số dần tới vô cực

Ta nói dãy số (u_n) dần tới vô cực \(\left( {{u_n} \to  + \infty } \right)\) khi n dần tới vơ cực \(\left( {n \to  + \infty } \right)\) nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=\( + \infty \) hay  un \( \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu lim\(\left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).Ký hiệu: lim(un)=\( - \infty \) hay un\( \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

4. Định lý

Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ ,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = \infty \)

Nếu \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \infty {\rm{ }}\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Giới hạn của dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}}\) với P, Q là các đa thức:

Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả: \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}\).

Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim (un) = 0.

Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim (u_n) = \(\infty \).

2. Giới hạn của dãy số dạng: \({u_n} = \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}}\) , \(f\) và \(g\) là các biển thức chứa căn.

Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.

Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số \(f(x)\) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x_n), x_n \( \in \)K và x_n \( \ne \)a ,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) mà lim (xn) = a đều có lim [f(xn­)] = L. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý 2: Nếu các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L{\rm{ }},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = M\) thì:

                                                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L \pm M\)

                                                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L.M\)

                                                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right]}} = \frac{L}{M}{\rm{ , M}} \ne {\rm{0}}\)

                                                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}  = \sqrt L {\rm{ ; }}f\left( x \right) \ge 0,L \ge 0\)

Cho ba hàm số \(f(x), h(x)\) và \(g(x)\) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)\( \le \)f(x)\( \le \)h(x) \(\forall x \in K,x \ne a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {h\left( x \right)} \right] = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (x_n), lim (x_n) = a , đều có lim [f(x_n)] = \(\infty \) thì ta nói \(f(x)\) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \infty \).

Nếu với mọi dãy số (x_n) , lim (x_n) = \(\infty \) đều có lim [f(x_n)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).

Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\). Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{{\rm{0}}}{{\rm{0}}}} \right)\)

Nếu \(f(x), g(x)\) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho \((x-a)\) hoặc \((x-a)^2\).

Nếu \(f(x), g(x)\) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Chia tử và mẫu cho \(x_k\) với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu \(x \to  + \infty \) thì coi như x>0, nếu \(x \to  - \infty \) thì coi như \(x<0\) khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{   }}\left( {{\rm{0}}{\rm{.}}\infty } \right)\). Ta biến đổi về dạng: \(\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)

Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\sqrt {f\left( x \right)}  - \sqrt {g\left( x \right)} } \right]{\rm{    }}\left( {\infty {\rm{ - }}\infty } \right)\)

Đưa về dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)} }}\)

 

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 \( \in \) (a;b) nếu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\). Điểm x0 tại đó \(f(x)\) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

\(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), liên tục tại điểm x0 \( \in \) (a;b) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\).

\(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) được gọi là liên tục trên khoảng \((a;b)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

\(f(x)\) xác định trên khoảng \([a;b]\) được gọi là liên tục trên khoảng \([a;b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( a \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( b \right)\end{array} \right.\)

2. Một số định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục tại x0 thì:\(f\left( x \right) \pm g\left( x \right){\rm{ , }}f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{ , }}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{  }}\left( {g\left( x \right) \ne 0} \right)\) cũng liên tục tại x0 .

Định lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.

Định lý 3: \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và \(f(a).f(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một điểm c\( \in \)(a;b) sao cho \(f(c) = 0\). Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((a;b)\).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{                }}\left( {{\rm{x}} \ne {{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\{\rm{a                       }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.{\rm{               }}\)

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right]\).Hàm số liên tục tại x0 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right] = a\).

Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x < }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\a{\rm{                }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\h\left( x \right){\rm{          }}\left( {{\rm{x > }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.\)

Tìm : \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\). Hàm số liên tục tại x = x0 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right) = a\).

2. Chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm trong khoảng \((a;b)\)

Chứng tỏ \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\).

Chứng tỏ \(f(a).f(b)<0\)

Khi đó \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((a;b)\).

Nếu chưa có \((a;b)\) thì ta cần tính các giá trị \(f(x)\) để tìm \(a\) và \(b\). Muốn chứng minh \(f(x)=0\) có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng \(f(x)=0\) đều có nghiệm.

B. Bài tập minh họa 

Bài 1: Tìm các giới hạn:

a) \(\lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n}.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n} = \sin 0 = 0.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0 \Rightarrow {\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = c{\rm{os}}0 = 1.\)

Bài 2: Tính các giới hạn:

a) \({\rm{lim }}\frac{1}{n}\sin (2n + 1).\)

b) \({\rm{lim }}\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1).\)

Hướng dẫn giải

a) \(sin(2n + 1) \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{1}{n}\sin (2n + 1)} \right| \le \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{1}{n}\sin (2n + 1) = 0.\)

b) \(\left| {c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) \le 1} \right| \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1)} \right| \le \frac{5}{{2n + 3}} \to 0\)

\( \Rightarrow \lim \frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) = 0.\)

Bài 3: Tính các giới hạn:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}}.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n\)

Hướng dẫn giải

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{5 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \lim \frac{0}{5} = 0.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n = \lim \frac{{(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  - 2n)(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n)}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}}\)

\( = \lim \frac{{3n + 3}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3}  + 2n}} = \frac{3}{4}\)

Bài 4: Tính các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}{\rm{.}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} (x - 2) =  - 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {3x + 1}  - 2)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{3}{{(\sqrt {3x + 1}  + 2)}} = \frac{3}{4}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + 1} \right)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1}} = \frac{2}{3}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  - x)(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + 1)}} = 1.\)

Bài 5: Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ne {\rm{1}}} \right)\\{\rm{a                      }}\left( {{\rm{x = 1}}} \right)\end{array} \right.\) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có \(f(1) = a\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Nếu \(a=2\) thì hàm số liên tục tại \(x_0 = 1\).

Nếu \(a \ne \)2 thì hàm số gián đoạn tại \(x_0 = 1\).

Bài 6: Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{      }}\left( {{\rm{x}} > {\rm{0}}} \right)\\{\rm{x             }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{0}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại \(x_0 = 0\).

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có \(f(0) = 0\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1{\rm{ }} \ne {\rm{ 0 = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x\end{array}\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x_0 = 0\).

Bài 7: Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}ax + 2{\rm{             }}\left( {{\rm{x}} \ge {\rm{1}}} \right)\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 1            }}\left( {{\rm{x}} < {\rm{1}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Hướng dẫn giải

\(x >1\) ta có \(f(x) = ax +2\) hàm số liên tục.

\(x <1\) ta có \(f(x) =  x^2+x-1\) hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có \(f(1) = a+2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x - 1} \right) = 1\end{array}\).

Hàm số liên tục tại \(x_0 = 1\) nếu \(a = -1\).

Hàm số gián đoạn tại \(x_0 = 1\) nếu  \( a \ne \) -1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu \(a = -1\). Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nếu \( a\ne \) -1.

Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1 
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 2
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 3
• Trắc nghiệm ôn tập Chương 4 Toán 11

Đề kiểm tra Toán 11 Chương 4

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 4 Toán 11 (Thi Online)

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.

• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 ĐS & GT 11 Trường THPT Thanh Chương I năm 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết Giới hạn Toán 11 Trường THPT Hùng Vương - Bình Thuận năm 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết Giới hạn Toán 11 Trường THPT Trần Bình Trọng-Khánh Hòa năm 2017-2018
• Đề kiểm tra 1 tiết chương Giới hạn Toán 11 Trường THPT Tứ Sơn - Bắc Giang năm 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết chương Giới hạn Toán lớp 11 Trường THPT Thường Tín - Tô Hiệu năm 2018
• Đề kiêm tra 1 tiết Chương 4 ĐS và GT lớp 11 Trường THP Đầm Dơi năm 2017
• 40 câu trắc nghiệm ôn tập chương Giới hạn Giải tích lớp 11

Đề kiểm tra Chương 4 Toán 11 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.

• Bộ đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Toán 11 năm 2019 Trường THPT Thị Xã Quảng Trị
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Toán 11 năm 2019 Trường THPT Đoàn Thượng
• Bộ 3 đề kiểm tra 1 tiết chương Giới hạn Toán lớp 11 năm 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 3 + 4 ĐS và GT lớp 11 Trường THPT Đầm Dơi năm 2017 có đáp án
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 4 Giải tích lớp 11 Trường THPT Hùng Vương năm học 2017 - 2018 
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 4 Giải tích lớp 11 Trường THPT Nhơn Trạch năm học 2017 - 2018 
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 4 Giải tích lớp 11 Trường THPT Tô Hiệu năm 2017 - 2018 có đáp án
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 4 Giải tích lớp 11 Trường THPT Trần Bình Trọng năm học 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Giải tích lớp 11 Trường THPT Tứ Sơn năm học 2017 - 2018 

Lý thuyết từng bài Chương 4 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 4

• Toán 11 Bài 1 Giới hạn của dãy số
• Toán 11 Bài 2 Giới hạn của hàm số
• Toán 11 Bài 3 Hàm số liên tục
• Toán 11 Ôn tập chương 4 Giới hạn

Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 4

• Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1
• Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 2
• Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 3

• Giải bài ôn tập Chương 4 Toán 11

Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 4. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 4 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !