Ôn tập Toán 11 Chương 2 Tổ Hợp - Xác Suất
Nhằm giúp các em ôn tập và hệ thống lại toàn bộ kiến thức Chương 2 Toán 11 hiệu quả, HỌC247 xin giới thiệu đến các em tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 2 về Tổ hợp và Xác suất gồm phần tóm tắt lý thuyết và các bài tập liên quan đến Tổ hợp - Xác suất. Bên cạnh đó, tài liệu còn cung cấp thêm nội dung các bài học, hướng dẫn giải bài tập SGK cùng phần trắc nghiệm online của từng bài, bám sát với nội dung chương trình SGK. Ngoài ra, HỌC247 cũng xin gửi đến các em các đề kiểm tra 1 tiết của Chương 2, các em có thể làm bài thi trắc nghiệm trực tuyến để đánh giá năng lực của mình cũng như có thể tải file đề về tham khảo và ôn tập chuẩn bị cho bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em ôn tập hiệu quả.
Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 2
A. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Quy tắc đếm
1. Qui tắc cộng
a) Định nghĩa: Xét một công việc \(H\).
Giả sử \(H\) có \(k\) phương án \({H_1},{H_2},...,{H_k}\) thực hiện công việc \(H\). Nếu có \({m_1}\)cách thực hiện phương án \({H_1}\), có \({m_2}\) cách thực hiện phương án \({H_2}\),.., có \({m_k}\)cách thực hiện phương án \({H_k}\) và mỗi cách thực hiện phương án \({H_i}\) không trùng với bất kì cách thực hiện phương án \({H_j}\) (\(i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}\)) thì có \({m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) cách thực hiện công việc \(H\).
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|\)
2. Quy tắc nhân
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc \(H\) bao gồm \(k\) công đoạn \({H_1},{H_2},...,{H_k}\). Công đoạn \({H_1}\) có \({m_1}\) cách thực hiện, công đoạn\({H_2}\) có \({m_2}\) cách thực hiện,…, công đoạn \({H_k}\) có \({m_k}\) cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo \({m_1}.{m_2}...{m_k}\) cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|\).
1.2. Nhị thức Niu-tơn
1. Nhị thức Newton
Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
2. Nhận xét
Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau
* Gồm có \(n + 1\) số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
* Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)
VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)
1.3. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).
b) Số hoán vị của tập n phần tử:
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
2.Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
3.Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu\(C_n^k:\) \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Nhận xét :
i/ Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt .
ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chổ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.
1.4. Biến cố - Xác suất của biến cố
1. Xác suất của biến cố
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức
\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So ket qua thuan loi cho A}}}}{{{\rm{So ket qua co the xay ra}}}}\).
Chú ý: \( \bullet \) Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
\( \bullet \) \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)
b) Định nghĩa thống kê của xác suất
Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A
Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:
\(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So lan xuat hien cua bien co A}}}}{N}\).
2. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
\( \bullet \) Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:
\(P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_k})\).
\( \bullet \) \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)
\( \bullet \) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \(P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
3. Quy tắc nhân xác suất
\( \bullet \) Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
\( \bullet \) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam.
- Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách.
- Chọn 2 trong 5 nam có \(C_5^2\) cách.
Suy ra có 3\(C_5^2\) cách chọn
- Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam.
- Chọn 2 trong 3 nữ có \(C_3^2\) cách.
- Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách.
Suy ra có 5\(C_3^2\) cách chọn.
Trường hợp 3: chọn cả 3 nữ, có 1 cách.
Vậy có tất cả: 3\(C_5^2\) + 5\(C_3^2\) + 1 = 46 (cách).
Bài 2: Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).
Hướng dẫn giải:
\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)
với \(0 \le i \le k \le 10\).
Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).
Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).
Bài 3: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{ (}}x \ne 0).\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)
\(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\)
\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).
Bài 4: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra \(\overline A \) là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.
Gọi \({B_i}\) là biến cố lần thứ i sinh con gái (\(i = 1,2,3\))
Suy ra \(P({B_1}) = P({B_2}) = P({B_3}) = 0,49\)
Ta có: \(\overline A = {B_1} \cap {B_2} \cap {B_3}\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( {{B_1}} \right)P\left( {{B_2}} \right)P\left( {{B_3}} \right) = 1 - {\left( {0,49} \right)^3} \approx 0,88.\)
Bài 5: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn.
Hướng dẫn giải:
Gọi \({A_i}\) là biến cố xuất hiện mặt \(i\) chấm \((i = 1,2,3,4,5,6)\)
Ta có \(P({A_1}) = P({A_2}) = P({A_3}) = P({A_5}) = P({A_6}) = \frac{1}{3}P({A_4}) = x\)
Do \(\sum\limits_{k = 1}^6 {P({A_k}) = 1 \Rightarrow 5x + 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{8}} \)
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra \(A = {A_2} \cup {A_4} \cup {A_6}\)
Vì cá biến cố \({A_i}\) xung khắc nên:
\(P(A) = P({A_2}) + P({A_4}) + P({A_6}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}.\)
Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 1
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 2
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 3
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 4
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 5
- Trắc nghiệm ôn tập Chương 2 Toán 11
Đề kiểm tra Toán 11 Chương 2
Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 2 Toán 11 (Thi Online)
- Đề trắc nghiệm ôn tập kiểm tra 1 tiết chương Tổ hợp - Xác suất toán lớp 11
- 40 câu trắc nghiệm ôn tập Chương 2 Đại số và Giải tích 11
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Đoàn Thượng
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Bến Tre
Đề kiểm tra Chương 2 Toán 11 (Tải File)
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 Trường THPT Nhơn Trạch năm học 2018 - 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 năm 2018 có đáp án - Trường THPT Bến Tre
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 Trường THPT Đoàn Thượng năm học 2018 - 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 Trường THPT Thoại Ngọc Hầu năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 giải tích 11
- Kiểm tra 1 tiết Trắc nghiệm Tổ hợp Xác suất Toán 11
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT DTNT Ninh Bình năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số lớp 11 Trường THPT Cây Dương năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trung tâm GDNN - GDTX Châu Thành năm 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Bắc Quang năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT C Kim Bảng năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Lâm Thao năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Nhơn Trạch năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Đoàn Thượng năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Đại số 11 Trường THPT Cây Dương năm học 2017 - 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 năm 2017- Trường Thoại Ngọc Hầu
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Toán đại số 11 năm 2017- Trường THPT Phú Lâm có đáp án
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 ĐS & GT 11
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 Đại số 11 năm 2017- Trường thpt Bến Tre
Lý thuyết từng bài Chương 2 và hướng dẫn giải bài tập SGK
Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 2
Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 2
- Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 1
- Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 2
- Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 3
- Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 4
- Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 5
- Giải bài ôn tập Chương 2 Toán 11
Để xem nội dung đầy đủ, chi tiết, các em đăng nhập vào tài khoản trên trang Hoc247.net. Trên mỗi tài liệu, Hoc247 đều hỗ trợ chức năng chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247! Chúc các em đạt kết quả thật cao.