Ôn tập Toán 10 Chương 6 Cung, Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác

Đề cương Ôn tập Toán 10 Chương 6

A. Tóm tắt lý thuyết

                \({180^ \circ } = \pi {\rm{ }}rad\)

Các góc đặc biệt \(0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2};\pi \)

\(\begin{array}{l} 1.\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \tan \left( {\alpha  + k\pi } \right)\;\;\; = \tan \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \cot \left( {\alpha  + k\pi } \right)\;\;\; = \cot \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right) \end{array}\) \(2.\left| {\sin \alpha } \right| \le 1\;\;\;\;\;\left| {\cos \alpha } \right| \le 1\)

B. Bài tập minh họa 

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Phương pháp

Muốn chứng minh 1 đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác ở 1 vế thành biểu thức lượng giác ở vế kia.

          Để ý rằng 1 biểu thức lượng giác có thể biến đổi thành nhiều dạng khác nhau. Ví dụ: 

\({\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\) (CT LG cơ bản)

\({\sin ^2}2x = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 4x} \right)\) (CT hạ bậc)

\({\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\) (CT nhân đôi)

         Tùy theo mỗi bài toán, ta chọn CT thích hợp để biến đổi

Bài 1: Chứng minh 

\(a.\;{\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \)

Hướng dẫn giải

Áp dụng CT LG cơ bản và HĐT \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab{\rm{      }}{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

\(a.\;{\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

\( = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \)

\(b.\;{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)^3} + {\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^3} = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^3} - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)\)

\( = 1 - 3si{n^2}\alpha .co{s^2}\alpha  = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \)

Bài 2: Chứng minh

\(a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \frac{3}{4}\sin 4a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a\)

Hướng dẫn giải 

Áp dụng CT nhân ba – CT cộng \(4{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = 3\sin a - \sin 3a\;\;\;\;\;\;\;4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a + 3\cos a\)

\(\begin{array}{l}
a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4} + \sin 3a\frac{{\cos 3a + 3\cos a}}{4}\\
 = \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left( {3\sin a - \sin 3a} \right) + \sin 3a\left( {\cos 3a + 3\cos a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {3\sin a.\cos 3a - \cos 3a.\sin 3a + \sin 3a.\cos 3a + 3.\cos a.\sin 3a} \right)\\
 = \frac{3}{4}\left( {\sin a.\cos 3a + \cos a.\sin 3a} \right) = \frac{3}{4}\sin \left( {a + 3a} \right) = \frac{3}{4}\sin 4a
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b.\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left( {\cos 3a + 3\cos a} \right) + \sin 3a\left( {3\sin a - \sin 3a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a + 3\cos 3a.\cos a + 3.\sin a.\sin 3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a} \right)\\
 = \frac{1}{4}\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a + 3\left( {\cos 3a.\cos a + \sin a.\sin 3a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left[ {\cos 6a + 3\cos \left( {3a - a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a - 3\cos 2a + 3\cos 2a} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a
\end{array}\)

Bài 3: Chứng minh

\(\begin{array}{l}
a.\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b\;\\
b.\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{4}\sin 3x\\
c.\tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \tan 3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng

\(a.\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}b - 1 - \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)} \right] = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a\)

\(\begin{array}{l}
b.\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{2}\sin x\left( {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{1}{2}\sin x.\cos 2x - \frac{1}{4}\sin x\\
 = \frac{1}{4}\left( {\sin 3x - \sin x} \right) - \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}\sin 3x
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c.\tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \tan x.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan x}}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}\\
 = \tan x.\frac{{\sqrt 3  - \tan x}}{{1 + \sqrt 3 \tan x}}.\frac{{\sqrt 3  + \tan x}}{{1 - \sqrt 3 \tan x}}\\
 = \tan x.\frac{{3 - {{\tan }^2}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = \tan 3x
\end{array}\)

Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác

Phương pháp

Muốn rút gọn 1 biểu thức lượng giác, ta dung các CTLG để biến đổi biểu thức đã cho.

Muốn tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác, ta tìm cách rút gọn biểu thức này. Ngoài việc dùng các CTLG, nên xem xét biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó chọn cách giải thích hợp.

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

\(\begin{array}{l}
a.A = \;\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
b.\;B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải 

Áp dụng CT cung phụ - CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng

a. Ta có \(\;\frac{{2\pi }}{3} - x = \frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
A = \;\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\\
 = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\\
 = \sin \left[ {\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos x
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b. B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
 = \cos x + \left[ {\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]\\
 = \cos x + 2\cos x.\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos x + 2\cos x.\left( { - \frac{1}{2}} \right)\\
 = \cos x - \cos x = 0
\end{array}\)

Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ vào:

\(\begin{array}{l}
a.\;A = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\
b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + a} \right) - 2\cos a.\cos x.\cos \left( {x + a} \right)\\
c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + a} \right) - 2\sin a.\cos x.\sin \left( {x + a} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải 

Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng và HĐT

\(\begin{array}{l}
a.\;A = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\
 = 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\
 = 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - 2{\cos ^4}x\\
 = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x\\
 = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy A không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{l}
b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + a} \right) - \cos a.\left[ {2\cos x.\cos \left( {x + a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \cos a\left[ {\cos \left( {2x + a} \right) + \cos a} \right]\\
 = 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - {\cos ^2}a\\
 = 1 + \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - {\cos ^2}a\\
 = 1 - {\cos ^2}a = {\sin ^2}a,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy B không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{l}
c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + a} \right) - 2\sin a.\cos x.\sin \left( {x + a} \right)\\
 = 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \sin a\left[ {\sin \left( {2x + a} \right) + \sin a} \right]\\
 = 1 - \sin \left( {2x + a} \right).\sin \left( { - a} \right) - \sin \left( {2x + a} \right).\sin a - {\sin ^2}a\\
 = 1 - {\sin ^2}a = {\cos ^2}a,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy C không phụ thuộc vào x

Bài 3: Tính giá trị biểu thức

\(\begin{array}{l}
a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
b.\;B = \sin 20^\circ .\sin 40^\circ .\sin 80^\circ \\
c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}\;
\end{array}\)

Hướng dẫn giải 

Áp dụng CT phụ - CT tổng thành tích–tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ  = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\cos 20^\circ  = \frac{{1 - 4\cos 20^\circ .\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }}\\
 = \frac{{1 - 2\left( {\cos 30^\circ  - \sin 10^\circ } \right)}}{{\sin 10^\circ }} = \frac{{2\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} = 2
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b.\;B = \sin 20^\circ .\sin 40^\circ .\sin 80^\circ  = \frac{1}{2}\sin 20^\circ \left( {\cos 40^\circ  - \cos 120^\circ } \right) = \frac{1}{2}\sin 20^\circ .\cos 40^\circ  + \frac{1}{4}\sin 20^\circ \\
 = \frac{1}{4}\left( {\sin 60^\circ  - \sin 20^\circ } \right) + \frac{1}{4}\sin 20^\circ  = \frac{1}{4}\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\)

\(c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \left( {\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}} \right) = \cos \frac{\pi }{9} + 2\cos \frac{{6\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{9} = \cos \frac{\pi }{9} - \cos \frac{\pi }{9} = 0\)

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 6

• Trắc nghiệm Toán 10 Chương 6 Bài 1
• Trắc nghiệm Toán 10 Chương 6 Bài 2
• Trắc nghiệm Toán 10 Chương 6 Bài 3
• Trắc nghiệm ôn tập Chương 6 Toán 10

Đề kiểm tra Toán 10 Chương 6

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 6 Toán 10 (Thi Online)

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi. 

• Đề trắc nghiệm ôn tập chương Công thức lượng giác Đại số 10 năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 6 Đại số 10 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 6 Đại số 10 năm 2019 Trường THPT Đoàn Thượng
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 6 Đại số 10 Trường THPT Nguyễn Huệ - Vũng Tàu năm 2017- 2018

Đề kiểm tra Chương 6 Toán 10 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài. 

Lý thuyết từng bài Chương 6 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 10 Chương 6

• Toán 10 Bài 1 Cung và góc lượng giác
• Toán 10 Bài 2 Giá trị lượng giác của một cung
• Toán 10 Bài 3 Công thức lượng giác
• Toán 10 Ôn tập chương 6 Cung Góc lương giác và Công thức lượng giác

Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 Chương 6

• Giải bài tập Toán 10 Chương 6 Bài 1
• Giải bài tập Toán 10 Chương 6 Bài 2
• Giải bài tập Toán 10 Chương 6 Bài 3
• Giải bài ôn tập Chương 6 Toán 10

Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 10 Chương 6 về Cung, Góc lượng giác và Công thức lượng giác. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 6 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !