Ôn tập Toán 10 Chương 4 Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình
HỌC247 xin gửi đến các em tài liệu Ôn tập Toán 10 Chương 4 tổng hợp các kiến thức về Bất đẳng thức và Bất phương trình sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học ở Chương 4. Thông qua sơ đồ tư duy, các em sẽ có được cách ghi nhớ bài một cách dễ dàng, hiệu quả. Bên cạnh đó, HỌC247 còn cung cấp thêm nội dung chi tiết các bài học của chương cùng phần hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK với đầy đủ nội dung, chi tiết. Ngoài ra, sau mỗi bài học sẽ có phần trắc nghiệm đi kèm được biên soạn theo hình thức trắc nghiệm online nhằm giúp các em củng cố kiến thức. HỌC247 có tổng hợp thêm một số đề kiểm tra 1 tiết Chương 4, các em có thể làm bài trực tuyến hoặc tải file đề về máy. Mời các em cùng tham khảo.
Đề cương Ôn tập Toán 10 Chương 4
A. Tóm tắt lý thuyết
"Hệ thống về kiến thức"
"Hệ thống về kỹ năng"
1.1. Bất đẳng thức
a) Tính chất
* \(a > b\) và \(b > c \Rightarrow a > c\)
* \(a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\)
* \(a > b\) và \(c > d \Rightarrow a + c > b + d\)
* Nếu \(c > 0\) thì \(a > b \Leftrightarrow ac > bc\)
Nếu \(c < 0\) thì \(a > b \Leftrightarrow ac < bc\)
* \(a > b \ge 0 \Rightarrow \sqrt a > \sqrt b \)
* \(a \ge b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge {b^2}\)
* \(a > b \ge 0 \Rightarrow {a^n} > {b^n}\)
b) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
* \( - \left| a \right| \le a \le \left| a \right|\) với mọi số thực \(a\) .
* \(\left| x \right| < a \Leftrightarrow - a < x < a\) ( Với \(a > 0\))
* \(\left| x \right| > a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > a\\x < - a\end{array} \right.\) ( Với \(a > 0\))
c) Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
+) Đối với hai số không âm
Cho \(a \ge 0,\,\,b \ge {\rm{0}}\), ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \). Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)
Hệ quả:
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
+) Đối với ba số không âm
Cho \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,c \ge 0\), ta có \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\). Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)
d) Các dạng toán
- Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản
Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) \(A \ge B\) ta có thể sử dụng các cách sau:
Ta đi chứng minh \(A - B \ge 0\). Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích \(A - B\) thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
- Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng
- Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
\(a \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left( {a - \alpha } \right)\left( {a - \beta } \right) \le 0\) \(\left( * \right)\)
\(a,b,c \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left( {a - \alpha } \right)\left( {b - \alpha } \right)\left( {c - \alpha } \right) + \left( {\beta - a} \right)\left( {\beta - b} \right)\left( {\beta - c} \right) \ge 0\left( {**} \right)\)
- Dạng 2: Sử dụng bđt Cô si để chứng minh bđt và tìm GTLN, NN
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô si:
- Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
- BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
- Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
- Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng
Đối với hai số: \({x^2}\,\, + \,{y^2}\,\, \ge \,\,2xy;\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2}\,\, + \,{y^2}\,\, \ge \,\,\frac{{{{(x\, + \,y)}^2}}}{2};\,\,\,\,\,\,\,xy \le \,\,{\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2}\).
Đối với ba số: \(abc \le \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3},\,\,abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\)
1.2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
a) Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b < 0\).
Giải bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (1)
Nếu \(a = 0\) thì bất phương trình có dạng \(0.x + b < 0\)
- Với \(b < 0\) thì tập nghiệm BPT là S = Æ
- Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)
Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)
Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)
Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự
b) Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.
1.3. Dấu của nhị thức bậc nhất
a) Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất
Định lý: Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)
Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:
b) Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất
Giả sử \(f(x)\) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong \(f(x)\) ta suy ra được dấu của \(f(x)\). Trường hợp \(f(x)\) là một thương cũng được xét tương tự.
c) Áp dụng vào giải bất phương trình
Giải bất phương trình \(f(x) > 0\) thực chất là xét xem biểu thức \(f(x)\) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết \(f(x)\) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức \(f(x)\).
- Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| \le a\) và \(f(x) \ge a\) với a > 0 đã cho.
Ta có:
\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow - a \le f(x) \le a\)
\(f(x) \ge a \Leftrightarrow f(x) \le a \vee f(x) \ge a\)
1.4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Quy tắc thực hành biểu diễn hình học miền nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) ( tương tự cho bất phương \(ax + by \ge c\))
Bước 1: Trên mặt phẳng xy, vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)
Bước 2: Lấy một điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc \(\Delta \) ( ta thường lấy gốc tọa độ O)
Bước 3: Tính \(ax_0 + by_0\) và so sánh \(ax_0 + by_0\) với c
Bước 4: Kết luận
Nếu \(ax_0 + by_0 < c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)
Nếu \(ax_0 + by_0 > c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) không chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)
Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\)
b) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
1.5. Dấu của tam thức bậc hai
a) Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Định lí: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta = {b^2} - 4ac\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
Nếu \(\Delta > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)
Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:
+ Với \(\Delta < 0\)
+ Với \(\Delta = 0\)
+ Với \(\Delta > 0\)
* Cách xét dấu tam thức bậc hai
- Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)
- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.
- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
b) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức \(a + \frac{4}{{\left( {a - b} \right){{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge 3\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(a>b\geq 0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a-b+b+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)
\(=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)
\(\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}}-1\)
\(=4-1=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\Leftrightarrow a=2; b=1\)
Bài 2: Cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
Hướng dẫn giải
Theo bđt cosi ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)
Suy ra đpcm
Bài 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \le 6\\
x + y \le 4\\
2x - y \ge 3\\
- 10x + 5y < 8
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Vẽ các đường thẳng
\(\begin{array}{l}
(a):3x + y = 6\\
(b):x + y = 4\\
(c):2x - y = 3\\
(d): - 10x + 5y = 8
\end{array}\)
Vì điểm M(0;-3) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các mặt phẳng bờ (a), (b), (c), (d) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho.
Bài 4: Tìm m để phương trình \( - {x^2} + (m + 1)x + {m^2} - 5m + 6 = 0\) (1) có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\( - 1.\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0\)
Vì tam thức \(f(x) = \left( {{m^2} - 5m + 4} \right)\) có 2 nghiệm là \({m_1} = 1,{m_2} = 4\) và hệ số của \(m^2\) dương nên
\(\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m < 1\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m > 4 \vee m < 1\)
Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4
- Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 1
- Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 2
- Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 3
- Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 4
- Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 5
- Trắc nghiệm ôn tập Chương 4 Toán 10
Đề kiểm tra Toán 10 Chương 4
Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 4 Toán 10 (Thi Online)
Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.
- 40 câu trắc nghiệm ôn tập Chương 4 Đại số 10
- 40 câu trắc nghiệm chuyên đề Bất phương trình và hệ bất phương trình Đại số 10
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Đại số 10 Trường THPT Đoàn Thượng năm 2018 - 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Đại số 10 Trường THPT Nhã Nam năm 2018 - 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết HK2 Chương 4 Đại số 10 Trường THPT Bến Tre năm 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 môn Toán 10 Trường THPT Nguyễn Trãi năm 2018
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Đại số 10 Trường THPT Bùi Thị Xuân - Lâm Đồng năm 2018
Đề kiểm tra Chương 4 Toán 10 (Tải File)
Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.
Lý thuyết từng bài Chương 4 và hướng dẫn giải bài tập SGK
Lý thuyết các bài học Toán 10 Chương 4
- Toán 10 Bài 1 Bất đẳng thức
- Toán 10 Bài 2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
- Toán 10 Bài 3 Dấu của nhị thức bậc nhất
- Toán 10 Bài 4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Toán 10 Bài 5 Dấu của tam thức bậc hai
- Toán 10 Ôn tập chương 4 Bất đẳng thức, bất phương trình
Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 Chương 4
- Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 1
- Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 2
- Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 3
- Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 4
- Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 5
- Giải bài ôn tập Chương 4 Toán 10
Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 10 Chương 4. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 4 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !