Bài 1: Khái niệm luận chứng và chứng minh

Luận chứng là một loại năng lực lập luận. Có hai năng lực lập luận cơ bản trái ngược nhau:

• (1) Suy luận thực chất là luận kết, là quá trình đi từ tiền đề đến kết luận bằng những phương thức khác nhau, như suy diễn, quy nạp, loại suy (xem chương VI).
• (2) Luận chứng là quá trình đi từ luận đề (thực chất là kết luận được đưa ra trước), và nhờ các luận cứ (thực chất là các tiền đề) để suy luận, (thực chất là các luận kết) nhằm quay lại luận đề coi như luận kết.

Thí dụ: Tam chí tác pháp (Tôn - Nhân - Dụ) của Nhân minh học là một quá trình luận chứng:

• Tôn: Người thì phải chết
• Nhân: Vì là sinh vật
• Dụ:
  • Lý dụ: phàm là sinh vật thì đều phải chết
  • Sư dụ: như Xôcrát.

Ta thấy rõ. Tôn đóng vai trò luận đề. Nhân đóng vai trò luân cứ. Lý dụ và Sự dụ đóng vai trò suy luận thuyết minh.

Cấu trúc Tam chi tác pháp khác hẳn cấu trúc Tam đoạn luận Anxtốt. Vì Tam đoạn luận Arixtột là quá trình suy luân thuần túy.

Mọi người đều phải chet.

Xôcrát là người.

Vậy Xôcrát phải chết.

Mọi quá trình luận chứng đều có cấu trúc 3 thành phần cơ bản:

• Luận đề, đó là phán đoán mà giá trị chân lý của nó cẩn được khẳng định hoặc phủ định.
• Luận cứ, đó là những phán đoán chân thực làm tiền đề cho quá trình suy luận ra luận đề như kết luận.
• Quá trình luận chứng là quá trình đi từ luận cứ (đóng vai trò tiền đề) để rút ra luận để như kết luận. Đây thực chất là quá trình luận kết (tức là suy luận), nên có thể gọi là quá trình luận thuyết hay quá trình thuyết minh.

Luận chứng có nhiều kiểu loại khác nhau, tùy thuộc đặc điểm quá trình luận chứng. Có thể là chứng minh., hoặc là bác bỏ, có thể là luận chứng trực tiếp cũng có thế là luận chứng gián tiếp. v.v..

Chứng minh là quá trình luận chứng nhằm khẳng định tính chân thực của luận đề.

Thí dụ:

• Luận đề: nếu hai số cùng bằng một số thứ ba thì chúng bằng nhau: \({\rm{[}}(a = c) \wedge (b = c){\rm{]}} \to (a = b)\)
• Luận cứ: quan hệ bằng nhau giữa hai số a và b có các tính chất cơ bản sau đây: 
  • Tính chất phản xạ: a = a, b = b.
  • Tính chất đổi xứng: (a - b) → (b = a)
  • Tính chất bắc cầu: \({\rm{[}}(a = b) \wedge (b = c){\rm{]}} \to (a = c)\)

Quá trình chứng minh:

• Bước 1: theo giả thiết ta có a - c (1), b = c (2)
• Bước 2: nếu a = c thì suy ra \(\underline {c{\rm{ }} = {\rm{ }}a} \) (3) (theo luận cữ số 2).
• Bước 3: nếu b = c và c = a thì suy ra b = a (4) (theo công thức 3 và luận cứ số 3).
• Bước 4: nếu b = a thì suy ra \(\underline {a{\rm{ }} = {\rm{ }}b} \) (5) (theo luận cứ số 2).

Công thức (5) là điều cần chứng minh. Cấu trúc của chứng minh, như vậy có 3 thành phần chính:

• Luận đề là phán đoán cần được chứng minh là chân thực.
• Luận cứ là những phán đoán chân thực.
• Quá trình chứng minh là từ nhũng luận cứ chân thực suy ra luận đề như kết luận chân thực.

Luận cứ của quá trình chứng minh có thể có nhiều loại:

• Các nguyên lý, quy luật khoa học.
• Các tiền đề định đề toán học.
• Các nguyên lý lôgic.
• Các sự kiện kinh nghiệm và thực nghiệm.
• Các bằng chứng thực tiễn.

Có hai loại chứng minh: trực tiếp và gián tiếp

Chứng minh trực tiếp

Đó là quá trình sử dụng các luận cứ chân thực để suy ra luận để như kết luận chân thực.

Thí dụ:

• Luận đề: 4 = 2 + 2
• Luận cứ: Theo định nghĩa số tự nhiên
  • 4 = 3 + 1 (1)
  • 3 = 2 + 1 (2)
  • 2 =1 + 1 (3)

Theo các tính chất của phép cộng như giao hoán, kết hợp, phân phối.

Quá trình chứng minh

Thay thế số 3 trong đẳng thức (1) bằng dẳng thức (2) ta có: 4 = (2 + 1) + 1 (4)

Từ (4) nhờ tính kết hợp của phép cộng, suy ra: 4 = 2 + (1 + 1) (5)

Từ (5), nhờ đẳng thức (3) suy ra: 4 = 2 + 2 là điều cần chứng minh 

Lược đồ lôgic chung của phép chứng minh trực tiếp là theo modus ponens.

A → B, A  B

Trong đó, B là luận đề cần chứng minh, còn A là luận cứ còn dấu ký hiệu quá trình suy luận.

Chứng minh gián tiếp

• Chứng minh bằng phản chứng

Phản chứng là thay vì chứng minh tính chân thực của luận đề người ta cơ thể chứng minh tính giả dối của phản đề, từ đó theo quy luật bài trung suy ra luận đề là kết luận chân thực.

Thí dụ:

• Luận đề: Từ một điểm nằm ngoài một đương thẳng chỉ có thể vẽ một đường thẳng vuông góc vói nó mà thôi.
• Luận cứ: Tổng các góc của một tam giác bằng hai góc vuông (t.ức bàng 180°).

Quá trình phản chứng

• Phát biếu phản đề: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có thể vẽ hai đường thẳng vuông góc với nó.
• Chứng minh phản đề là giả dối. Thật vậy. theo phản đề thì ta có tam giác sau đây.

Ta thấy, tam giác MHH' có tổng các góc trong là \(\widehat M{\rm{ }} + {\rm{ }}\widehat H{\rm{ }} + {\rm{ }}\widehat H > {\rm{ }}{180^0}\), mâu thuẫn với luận cứ chân thực.

Theo luật bài trung suy ra luận đề là chân thực.

Lược đồ lôgic chung của phép phán chứng là theo modus tollens.

A → B, \(\overline B \)  \(\overline A\)

Chứng minh lựa chọn

• Luận đề: An là học sinh đoạt giải nhất thi toán quốc gia
• Luận cứ:
  • Biết chắc vào chung kết chỉ có 4 học sinh An, Bình, Thắng, Linh.
  • Đã có bằng chứng Bình, Thắng, Linh không đoạt giải nhất.

Quá trình chứng minh: Suv luận phân liệt từ hai tiền để

An hoặc Bình hoặc Thắng hoặc Linh đoạt giải nhất

Bình, Thắng và Linh không doạt giải nhất

Vậv, chắc chắn An đoạt giải nhất, đó là điều phải chứng minh

Lược đồ lôgic chung của chứng minh lựa chọn có dạng \(A\underline \vee B\underline \vee C\underline \vee D,\,\,\overline B \wedge \overline C \wedge \overline D \)  A

Chứng minh lựa chọn thực chất là phép loại trừ các luận đề trong phép tuyển đề cuối cùng còn luận đề cần chứng minh. Điều kiện cần và đủ phải là (1) không bỏ sót trướng hợp khả dĩ nào (2) phép tuyển phải là phép tuyển chặt chẽ.

Quy tắc đối với luận đề

• Luận đề phải rõ ràng. Đây là yêu cầu đương nhiên, vì nếu ngược lại thì sẽ không rõ là phải chứng minh điều gì. Thí dụ, không thế chứng minh và cũng khó bác bỏ luận đề sau đây: "Trường sinh học cấu tạo từ các sinh lượng tử", vì phán đoán dựa trên hai khái niệm là "trường sinh học" và "sinh lượng tử", đó là những khái niệm đang còn là giả thuyết của khoa học hiện đại,
• Không được đánh tráo luận đề trong quá trinh luận chứng. Vi phạm nguvên tắc này có nghĩa là vi phạm luật đồng nhất - một quy luật logic cơ ban của tư duy đúng đắn, Thí dụ, trong tác phẩm của mình "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" (1909), V.I.Lênin đã phê phán sai lầm đánh tráo luận đề của các nhà khoa học theo chủ nghĩa duy tâm vật lý, khi họ chứng minh luận đề do họ đưa ra: "vật chất biến mất". Thực chất, như Lênin đã chỉ rõ, là không phải như vậy. Cái biến mất không phải là vật chất nói chung mà chỉ là một dạng cụ thể của vật chất, đó chính là dạng hạt (vật thể vi mô) của vật chất. Như vậy là đã có sự đánh tráo luận đê trong quá trình chứng minh. Luận đề là "vật chất biến mất", nhưng khi chứng minh thì đã bị thay thế bằng luận đề khác: "vật thể biến mất". Kết quả là, tuy đã chứng minh được rằng "điện tử biến mất", nhưng điều đó không thể đồng nhất với "vật chất biến mất", bởi vì điện tử với tư cách là hạt cơ bản chỉ là một dạng tồn tại cụ thể của vật chất chứ không phải là toàn bộ vật chất với tư cách là thực tại khách quan. Vật lý học ngày nay đã chứng minh được rằng điện tử với tư cách là hạt cơ bản (dạng chất của vật chất) có thể chuyển hoá thành sóng điện từ (dạng trường vật lý của vật chất). Do đó, không có vấn dề vật chất biến mất mà chỉ có vấn để dạng vật chất này chuyển hoá thành dạng vật chất khác mà thôi.

Quy tắc đối với luận cứ

• Luận cứ phải chân thực. Quy tắc này thực chất là yêu cầu của suy luận đúng đắn. Luận cứ là tiền đề của suy luận, muôn suy luận đúng đắn thì điểu kiện cần và đủ là tiền đề chân thực và quá trình suy luận tuân theo các quy luật và quy tắc logic hình thức. Vi phạm các quy tắc này thì gọi là "sai lầm cơ bản".
• Luận cứ phải là lý do đầy đủ của luận đề. Đây thực chất là yêu cầu của luật lý do dầy đủ trong logic học hình thức. Nếu không tuân theo luật lý do đầy đủ thì dù luận cứ có chân thực vẫn không đủ sức chứng minh luận đề, sai lầm này gọi là không suy ra được. Thí dụ, các luận cứ sau đây là lý do đẫy đủ để chứng minh luận đề: "quả đất hình tròn".
  • Ta có thể đi vòng quanh quả dất;
  • Nhìn chiếc thuyền từ chân trời đi tới, thoạt đau ta thấy cột buồm rồi sau mới thấy thân thuyền;
  • Càng lên cao tầm nhìn mỏ rộng thì chân trời cũng được nới rộng thêm, v.v..
• Luận cứ phải độc lập với luận đề xét về mặt tính chân thực. Nếu vi phạm quy tắc này thì sẽ rơi vào vòng luẩn quẩn của chứng minh, nghĩa là dùng cái chưa được chứng minh đổ chứng minh luận đề. Thí dụ, có người nói giá trị của hàng hóa do giá trị sức lao động quy định, nhưng để chứng minh điều đó lại lập luận rằng giá trị sức lao động bị quy định bởi giá trị hàng hóa. Như thế là luẩn quẩn, nghĩa là dùng luận đề để chứng minh luận cứ.

Quy tắc đối với quá trình chứng minh

• Quá trình chứng minh thực chất là quá trình suy luận, từ luận cứ đóng vai trò tiển để rút ra kết luận hợp logic. Do đó, các quy tắc suy luận đúng đắn đều là quy tắc của quá trình chứng minh. Như đã biết suy luận có 3 loại: (1) suy diễn, (2) quy nạp và (3) loại suy.
• Vì vậy, tương ứng với chúng, tùy loại suy luận được sử dụng trong quá trình chứng minh mà quy tắc chứng minh phải được vận dụng thích hợp.
• Chẳng hạn, nếu có hai luận cứ:
  • (1) Nếu một số có chữ số cuối cùng là 0 thì nó chia hết cho 5;
  • (2) Số này chia hết cho 5 thì không thể rút ra kết luận tất suy rằng "số này có chữ số cuỗi cùng là 0", vì làm như thế là vi phạm quy tắc suy diễn có điều kiện: a → b, b  a

Ngụy biện là một quá trình chứng minh sai lầm. Có nhiều kiểu ngụy biện khác nhau. Chẳng hạn, dùng thủ thuật đánh tráo trong quá trình chứng minh, Thí dụ, trong đại số học, người ta có thể đánh tráo điều kiện dùng công thức khai căn bậc lẻ và khai căn bậc chẵn như sau:

\(\sqrt {{{(a - b)}^2}} = \sqrt {{{(b - a)}^2}} \)  (1) suy ra

\((a - b) = (b - a)\)             (2) suy ra

2a = 2b                           (3) suy ra

a = b                               (4)như vậy là

con kiến có trọng lượng a bằng con voi có trọng lượng b!?