YOMEDIA
NONE

Hai vật cùng khối lượng m có thể trượt không ma sát trên một thanh cứng nằm ngang, được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không dãn, có chiều dài \(2\ell .\) Một vật khác có khối lượng 2m được gắn vào trung điểm của dây. Ban đầu giữ cho ba vật ở cùng độ cao và sợi dây không chùng. Thả nhẹ hệ, xác định vận tốc cực đại của mỗi vật.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Mai Thuy

    Gọi u là vận tốc của quả cầu 2m và v là vận tốc của hai quả cầu m (hai quả cầu m có vận tốc như nhau tại mọi thời điểm) khi dây hợp với phương ngang một góc \(\alpha .\) Vì dây luôn căng nên ta có:

    \(v\cos \alpha =u\sin \alpha \)                                     (1)

    - Mặt khác, theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

    \(\frac{1}{2}2m{{u}^{2}}+2\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=2mg\ell slin\alpha \)          (2)

    \(\Rightarrow {{v}^{2}}=2g\ell \sin \alpha -{{u}^{2}}\le 2g\ell \sin \alpha \le 2g\ell \)

    \(\Rightarrow v\le \sqrt{2g\ell }\)                                           (3)

    - Khi hai quả cầu m sắp chạm vào nhau thì \(\alpha =90{}^\circ ,\sin \alpha =1,cos\alpha =0\) và \(u=0.\)

    Lúc đó:

    \(v={{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell }\) khi \(\alpha =90{}^\circ \)

    - Từ (1): \(v=u\tan \alpha \left( \alpha \ne 90{}^\circ  \right).\) Thay vào (2), ta được:

    \({{u}^{2}}\left( {{\tan }^{2}}\alpha +1 \right)=2g\ell \sin \alpha \Leftrightarrow {{u}^{2}}=2g\ell {{\cos }^{2}}\alpha \sin \alpha =2g\ell {{\cos }^{2}}\alpha \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\)

    \(\Leftrightarrow {{u}^{2}}=\sqrt{2}g\ell \sqrt{\left( 2-2{{\cos }^{2}}\alpha  \right){{\cos }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha }\)

    - Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm \(\left( 2-2{{\cos }^{2}}\alpha  \right),{{\cos }^{2}}\alpha ,{{\cos }^{2}}\alpha \) ta được:

    \({{u}^{2}}=\sqrt{2}g\ell \sqrt{\left( 2-2{{\cos }^{2}}\alpha  \right){{\cos }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha }\le \sqrt{2}g\ell {{\left( \frac{\left( 2-2{{\cos }^{2}}\alpha  \right)+{{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha }{3} \right)}^{\frac{3}{2}}}\) \(=\frac{4\sqrt{3}}{9}g\ell \)

    \(\Rightarrow u={{u}_{\max }}\Leftrightarrow \left( 2-2{{\cos }^{2}}\alpha  \right)={{\cos }^{2}}\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}\)

    Và \({{u}_{\max }}=\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{3}g\ell }\)

    Vậy: Vận tốc cực đại của hai vật m là \({{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell },\) của vật 2m là \({{u}_{\max }}=\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{3}g\ell }.\)

      bởi Mai Thuy 24/02/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF